সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(u)=tan⁡3u,g(x)=x3−9×2+15x+7…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(u\right)=\tan 3u$

$\therefore f\left(x\right)=\tan 3x$

এবং $f(x+h)=\tan 3(x+h)=\tan (3x+3h)$

প্রদত্ত রাশি, $=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\tan (3x+3h)-\tan 3x]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\frac{\sin (3x+3h)}{\cos (3x+3h)}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}]$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\frac{\sin (3x+3h)\cdot \cos 3x-\cos (3x+3h)\cdot \sin 3x}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\cdot \frac{\sin (3x+3h-3x)}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin 3h}{h}\cdot \frac{1}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}$

$=3\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin 3h}{3h}\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}$

$=3\cdot 1\cdot \frac{1}{\cos 3x\cdot \cos 3x}=3\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}3x}=3{\sec }^{2}3x$

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=3{\sec }^{2}3x$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^3-9x^2+15x+7$

$\therefore g^{\prime }\left(x\right)=3x^2-18x+15$

যে সকল ব্যবধিতে $g\left(x\right)$ বৃদ্ধি প্রাপ্ত সেখানে $g^{\prime }\left(x\right)>0$

বা, $3x^2-18x+15>0$

বা, $x^2-6x+5>0$

বা, $x^2-5x-x+5>0$

বা, $x(x-5)-1(x-5)>0$

বা, $(x-5)(x-1)>0$

Line test :

$\therefore$ অসমতাটি সত্য হবে যদি $x<1$ অথবা $x>5$ হয়।

অর্থাৎ, $x<1$ অথবা $x>5$ ব্যবধিতে $g\left(x\right)$ বৃদ্ধি প্রাপ্ত।

আবার, $g\left(x\right)$ হ্রাস প্রাপ্ত হলে, $g^{\prime }\left(x\right)<0$

বা, $(x-5)(x-1)<0$

Line test :

অসমতাটি সত্য হবে যদি $1<x<5$ হয়।

অর্থাৎ, $1<x<5$ ব্যবধিতে $g\left(x\right)$ হ্রাস প্রাপ্ত।