সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(x)=1−sin2⁡x…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

Note : প্রশ্নে ${\left\{f\left(\frac{x}{a}\right)\right\}}^{-1}+{\left\{f\left(\frac{y}{b}\right)\right\}}^{-1}=0$ পরিবর্তে ${\left\{f\left(\frac{x}{a}\right)\right\}}^{-1}+{\left\{f\left(\frac{y}{b}\right)\right\}}^{-1}=\theta$ হবে।
দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x}=\cos x$

এখন, ${\left\{f\left(\frac{x}{a}\right)\right\}}^{-1}+{\left\{f\left(\frac{y}{b}\right)\right\}}^{-1}=\theta$
বা. ${(\cos \frac{x}{a})}^{-1}+{(\cos \frac{y}{b})}^{-1}=\theta$
বা, ${\cos }^{-1}\frac{x}{a}+{\cos }^{-1}\frac{y}{b}=\theta$
বা, ${\cos }^{-1}\frac{y}{b}=\theta -{\cos }^{-1}\frac{x}{a}$
বা, $\frac{y}{b}=\cos (\theta -{\cos }^{-1}\frac{x}{a})$ 

$\begin{array}{cc}& =\cos \theta \cos ({\cos }^{-1}\frac{x}{a})+\sin \theta \sin ({\cos }^{-1}\frac{x}{a})\\ & =(\cos \theta )\left(\frac{x}{a}\right)+\sin \theta \sqrt{1-{\cos }^2({\cos }^{-1}\frac{x}{a})}\\ & =\frac{x}{a}\cos \theta +\sin \theta \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\end{array}$ 

বা, $\frac{y}{b}-\frac{x}{a}\cos \theta =\sin \theta \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$
বা, ${(\frac{y}{b}-\frac{x}{a}\cos \theta )}^2={\sin }^2\theta (1-\frac{x^2}{a^2})$ [বর্গ করে]
বা, $\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}{\cos }^2\theta -2\frac{xy}{ab}\cos \theta ={\sin }^2\theta -\frac{x^2}{a^2}{\sin }^2\theta$
বা, $\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-\frac{2xy}{ab}\cos \theta ={\sin }^2\theta$
বা, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}\cos \theta +\frac{y^2}{b^2}={\sin }^2\theta$
বা, $\frac{a^2{b}^2{x}^2}{a^2}-\frac{2a^2{b}^{2}xy}{ab}\cos \theta +\frac{a^2{b}^2{y}^2}{b^2}=a^2{b}^2{\sin }^2\theta$

[উভয়পক্ষকে $a^2{b}^2$ দ্বারা গুণ করে] 

$\therefore b^2{x}^2-2abxy\cos \theta +a^2{y}^2=a^2{b}^2{\sin }^2\theta$. (দেখানো হলো ) 

দেওয়া আছে, 

$f\left(x\right)=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x}=\cos x$ 

এখন, $f\left(x\right)+f(\frac{\pi }{2}-x)=f\left(2x\right)+f(\frac{\pi }{2}-2x)$
বা, $\cos x+\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\cos 2x+\cos (\frac{\pi }{2}-2x)$
বা, $\cos x+\sin x=\cos 2x+\sin 2x$
বা, $\cos x-\cos 2x=\sin 2x-\sin x$
বা, $2\sin \frac{2x+x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}=2\cos \frac{2x+x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}$
বা, $\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}$ [2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=0$
বা, $\sin \frac{x}{2}(\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2})=0$ 

হয়, $\sin \frac{x}{2}=0$
বা, $\frac{x}{2}=n\pi$ যেখানে, $n$ পূর্ণসংখ্যা

$\therefore x=2n\pi$ 

অথবা, $\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=0$
বা, $\sin \frac{3x}{2}=\cos \frac{3x}{2}$
বা, $\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\cos \frac{3x}{2}}=1$ বা, $\tan \frac{3x}{2}=\tan \frac{\pi }{4}$
বা, $\frac{3x}{2}=n\pi +\frac{\pi }{4}$; যেখানে, $n$ পূর্ণসংখ্যা
বা, $x=\frac{2n\pi }{3}+\frac{2\pi }{12}$

$=\frac{2n\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=(4n+1)\frac{\pi }{6}$ 

$n=0$হলে, $x=0,\frac{\pi }{6}$
$n=1$হলে, $x=2\pi ,\frac{5\pi }{6}$
$n=-1$হলে, $x=-2\pi ,-\frac{\pi }{2}$
$n=2$হলে, $x=4\pi ,\frac{3\pi }{2}$
$0\le x\le \pi$  ব্যবধিতে, $x=0,\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$