সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: f(x)=ax2+bx+c,a≠0 একটি…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=0$

$\Rightarrow a{x}^2+bx+c=0.........\left(i\right)$

সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং } $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$c{x}^2-(\frac{b^2}{a}-2c)x+c=0\dots \dots \left(ii\right)$

$\Rightarrow \frac{c}{a}{x}^2-(\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a})x+\frac{c}{a}=0$

$\Rightarrow \alpha \beta x^2+\alpha \beta -\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$

$\Rightarrow \alpha \beta x^2+\alpha \beta -({\alpha }^2+{\beta }^2)x=0$

$\Rightarrow \alpha \beta x^2+\alpha \beta -{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x=0$

$\Rightarrow \alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$

$\Rightarrow (\alpha x-\beta )(\beta x-\alpha )=0$

$\therefore \alpha x-\beta =0$ অথবা $\beta x-\alpha =0$

$x=\frac{\beta }{\alpha }x=\frac{\alpha }{\beta }$

$\therefore$ (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\frac{\alpha }{\beta },\frac{\beta }{alpha}$

দেওয়া আছে, $a=1,b=-2n,c=n^2-m^2$

প্রশ্নমতে,

$f\left(x\right)=0$

$\Rightarrow a{x}^2+bx+c=0$

$\Rightarrow x^2-2nx+(n^2-m^2)=0(a,b,c$এর মান বসিয়ে)

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =2n$ এবং $\alpha \beta =n^2-m^2$

$\therefore \alpha -\beta =\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\sqrt{(2n{)}^2-4(n^2-m^2)}$

$=\sqrt{4n^2-4n^2+4m^2}=\sqrt{(2m{)}^2}$

$=2m$

$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ:

$x^2\left\{\right(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta \left)\right\}x+(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )=0$

$x^2-(2n+2m)x+2n\cdot 2m=0$

$\Rightarrow x^2-2(m+n)x+4mn=0$