সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(x)=ax2+bx+c.…’ নটরডেম কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

$f\left(x\right)=0$ হলে, $a{x}^2+bx+c=0$ 

$a{x}^2+bx+c=0$ এর মূল দুইটি  $\alpha$ ও $\beta$ 

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$ 

এখন , $ac(x^2+1)-(b^2-2ac)x=0$ 

বা, $\frac{c}{a}(x^2+1)-(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a})x=0$ [উভয়পক্ষকে $a^2$ দ্বারা ভাগ করে] 

বা, $\alpha \beta x^2+\alpha \beta -\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$ 

বা, $\alpha \beta x^2+\alpha \beta -({\alpha }^2+{\beta }^2)x=0$ বा, $\alpha \beta x^2-{\alpha }^{2}x+\alpha \beta -{\beta }^{2}x=0$
বা, $\alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$
বা, $(\beta x-\alpha )(\alpha x-\beta )=0$ 

হয় $\cdot \beta x-\alpha =0$ অথবা, $\alpha x-\beta =0$ 

বा, $x=\frac{\alpha }{\beta }$ বा, $x=\frac{\beta }{\alpha }$ 

$\therefore x=\frac{\alpha }{\beta }$ এবং $\frac{\beta }{\alpha }$ 

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

$f\left(x\right)=0$ হলে,  $a{x}^2+bx+c=0$

বা, $27x^2+6x-(\alpha +2)=0[\because a=27,b=6,c=-(\alpha +2\left)\right]$
ধরি, একটি মূল $\beta$ এবং অপর মূল ${\beta }^2$ 

$\therefore \beta +{\beta }^2=\frac{-6}{27}$ 

বা, $\beta +{\beta }^2=\frac{-2}{9}$
বা, $9{\beta }^2+9\beta +2=0$
বা, $9{\beta }^2+6\beta +3\beta +2=0$
বা, $3\beta (3\beta +2)+1(3\beta +2)=0$
বা, $(3\alpha +2)(3\beta +1)=0$
হয়, $3\beta +2=0$ 

$\therefore \beta =\frac{-2}{3}$ 

অথবা, $3\beta +1=0$ 

$\therefore \beta =\frac{-1}{3}$ 

এবং $\beta \cdot {\beta }^2=\frac{-(\alpha +2)}{27}$ 

$\therefore {\beta }^3=\frac{-(\alpha +2)}{27}$$.......\left(1\right)$ 

$\beta =\frac{-2}{3}$ হলে $\left(1\right)$ নং সমীকরণ হতে , ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^3=\frac{-(\alpha +2)}{27}$ 

বा, $\frac{-8}{27}=\frac{-(\alpha +2)}{27}$
বা, $\alpha +2=8$ 

$\therefore \alpha =6$ 

আবার, $\beta =\frac{-1}{3}$ হলে, (1)নং সমীকরণ হতে, ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^3=\frac{-(\alpha +2)}{27}$ 

বा, $\frac{-1}{27}=\frac{-(\alpha +2)}{27}$
বা, $\alpha +2=1$ 

$\therefore \alpha =-1$ 

নির্ণেয় মান : $\alpha =6,-1$.