সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(x)=cos−1⁡1−x21+x2;g(x)=(x−2)3(x+1)2;−1≤x≤3.…’ Combined ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\cos }^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}$ এবং $y=e^{f\left(x\right)}$।

প্রথমে $f\left(x\right)$ কে সরলীকরণ করি:

ধরি, $x=\tan \theta$। তাহলে,

$f\left(x\right)={\cos }^{-1}\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$

$={\cos }^{-1}(\cos 2\theta )$

$=2\theta$

$=2{\tan }^{-1}x$

তাহলে, $y=e^{2{\tan }^{-1}x}$

এখন উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে প্রথমবার অন্তরীকরণ ($y_1$) করে পাই:

$y_1=\frac{d}{dx}\left(e^{2{\tan }^{-1}x}\right)$

$y_1=e^{2{\tan }^{-1}x}\cdot \frac{2}{1+x^2}$

বা, $(1+x^2)y_1=2\cdot e^{2{\tan }^{-1}x}$

বা, $(1+x^2)y_1=2y$ . . . . . . . (সমীকরণ ১)

এখন উভয়পক্ষকে পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ ($y_2$) করে পাই:

$\frac{d}{dx}\left[\right(1+x^2\left)y_1\right]=\frac{d}{dx}\left(2y\right)$

$(1+x^2)y_2+y_1\left(2x\right)=2y_1$

সব পদ একপাশে এনে সাজিয়ে পাই:

$(1+x^2)y_2+2x{y}_1-2y_1=0$

$(1+x^2)y_2+(2x-2)y_1=0$

(উল্লেখ্য, প্রশ্নটিতে প্রমাণ করতে বলা হয়েছে $(1+x^2)y_2+(2x-1)y_1=0$, যা সাধারণত প্রশ্ন ছাপার ভুলের কারণে হতে পারে। তবে নিয়মানুযায়ী সঠিক সমাধান হলো $(1+x^2)y_2+2(x-1)y_1=0$)।

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=(x-2{)}^3(x+1{)}^2$ এবং ব্যবধিটি হলো $-1\le x\le 3$।

ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান হওয়ার শর্ত হলো $g^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ হতে হবে।

প্রথম অন্তরক বা ডেরিভেটিভ নির্ণয়:

গুণ সূত্র (Product Rule) প্রয়োগ করে $g\left(x\right)$ কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:

$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left[\right(x-2{)}^3(x+1{)}^2]$

$=(x-2{)}^3\cdot 2(x+1)+(x+1{)}^2\cdot 3(x-2{)}^2$

$=(x-2{)}^2(x+1)\left[2\right(x-2)+3(x+1\left)\right]$

$=(x-2{)}^2(x+1\left)\right(2x-4+3x+3)$

$=(x-2{)}^2(x+1\left)\right(5x-1)$

সঙ্কট বিন্দু (Critical Points) নির্ণয়:

$g^{\prime }\left(x\right)=0$ ধরে পাই:

$(x-2{)}^2(x+1\left)\right(5x-1)=0$

এখান থেকে পাই, $x=2$, $x=-1$, এবং $x=\frac{1}{5}$।

ব্যবধি পরীক্ষা:

প্রদত্ত ডোমেন $[-1,3]$ কে সংকট বিন্দুগুলো ($\frac{1}{5}$ এবং $2$) অনুযায়ী ভাগ করে পাই: $[-1,\frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5},2]$, এবং $[2,3]$।

প্রথম ব্যবধি $(-1,\frac{1}{5})$-এ:

এই ব্যবধিতে যেকোনো মান (যেমন $x=0$) বসালে $g^{\prime }\left(0\right)=(-2{)}^2(1\left)\right(-1)=-4<0$ হয়। অর্থাৎ এই অংশে ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান।

দ্বিতীয় ব্যবধি $(\frac{1}{5},2)$-এ:

এই ব্যবধিতে যেকোনো মান (যেমন $x=1$) বসালে $g^{\prime }\left(1\right)=(-1{)}^2(2\left)\right(4)=8>0$ হয়। অর্থাৎ এই অংশে ফাংশনটি ক্রমবর্দ্ধমান।

তৃতীয় ব্যবধি $(2,3)$-এ:

এই ব্যবধিতে যেকোনো মান (যেমন $x=2.5$) বসালে $g^{\prime }\left(2.5\right)>0$ হয় (যেহেতু $(x-2{)}^2$ সর্বদা ধনাত্মক এবং বাকি অংশগুলোও ধনাত্মক)। $x=2$ তে $g^{\prime }\left(2\right)=0$ হয়। অর্থাৎ $[\frac{1}{5},3]$ ব্যবধিতে $g^{\prime }\left(x\right)\ge 0$।

অতএব, যে সকল ব্যবধিতে $g\left(x\right)$ ক্রমবর্দ্ধমান তা হলো: $[\frac{1}{5},3]$।