সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(x)=cos⁡x.…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(\theta \right)=\cos \theta$ 

$\therefore P=f(\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$ 

এবং $Q=f\left(2\theta \right)=\cos 2\theta$ 
বামপক্ষ $={\sin }^{-1}\left(\sqrt{2}P\right)+{\sin }^{-1}\sqrt{Q}$ 

$\begin{array}{cc}& ={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)\\ & ={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos 2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\cdot \sqrt{1-2{\sin }^2\theta }\}\\ & [\because {\sin }^{-1}x+{\sin }^{-1}y={\sin }^{-1}\{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\}]\\ & ={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{2{\sin }^2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\cdot \sqrt{\cos 2\theta })\\ & ={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2}\sin \theta +\sqrt{\cos 2\theta }\cdot \sqrt{\cos 2\theta })\\ & ={\sin }^{-1}(2{\sin }^2\theta +\cos 2\theta )\\ & ={\sin }^{-1}(1-\cos 2\theta +\cos 2\theta )\\ & ={\sin }^{-1}1={\sin }^{-1}\sin \frac{\pi }{2}\end{array}$ 
$=\frac{\pi }{2}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore {\sin }^{-1}\left(\sqrt{2}P\right)+{\sin }^{-1}\sqrt{Q}=\frac{\pi }{2}$ (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $f\left(\theta \right)=\cos \theta$

এখন, $4f\left(\theta \right)f\left(2\theta \right)f\left(3\theta \right)=1$, যখন $0^{\circ }<\theta <\pi$

বা. $4\cos \theta \cos 2\theta \cos 3\theta =1$

বা, $(2\cos \theta \cos 3\theta )(2\cos 2\theta )=1$

বা, $(\cos 4\theta +\cos 2\theta )(2\cos 2\theta )=1$

বা, $2\cos 4\theta \cos 2\theta +2{\cos }^{2}2\theta -1=0$

বা. $2\cos 4\theta \cos 2\theta +\cos 4\theta =0$

বা, $\cos 4\theta (2\cos 2\theta +1)=0$ 

হয়, $\cos 4\theta =0$
বা, $4\theta =(2n+1)\frac{\pi }{2}$,
যেখানে $n\in Z$

$\therefore \theta =(2n+1)\frac{\pi }{8}$ 

অথবা, $2\cos 2\theta +1=0$
বা, $2\cos 2\theta =-1$
বা, $\cos 2\theta =-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$
বা, $2\theta =2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$, যেখানে $n\in Z$

$\therefore \theta =n\pi \pm \frac{\pi }{3}$ 

$n=0$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{-\pi }{3}$
$n=1$হলে, $\theta =\frac{3\pi }{8},\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$
$n=-1$হলে, $\theta =-\frac{\pi }{8},-\frac{2\pi }{3},-\frac{4\pi }{3}$
$n=2$ হলে, $\theta =\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$
$n=3$ হলে, $\theta =\frac{7\pi }{8},\frac{10\pi }{3},\frac{8\pi }{3}$
$n=4$ হলে, $\theta =\frac{9\pi }{8},\frac{13\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$

$0<\theta <\pi$ ব্যবধিতে $x=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{8}$ 

নির্ণেয় সমাধান : $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{8}$.