সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(x)=sin⁡x…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-7x)=\cos 7x$

ধরি, $g\left(x\right)=\cos 7x$

$\therefore g(x+h)=\cos 7(x+h)=\cos (7x+7h)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে,

$\frac{d}{dx}g\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (7x+7h)-\cos 7x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\sin \frac{7x+7h+7x}{2}\cdot \sin \frac{7x-7x-7h}{2}}{h}$

$=2\underset{h\to 0}{lim}\sin \left(\frac{14x+7h}{2}\right)\cdot \frac{\sin \left(\frac{-7h}{2}\right)}{h}$

$=2\times \underset{h\to 0}{lim}\sin \left(\frac{14x+7h}{2}\right)\cdot \frac{-\sin \frac{7h}{2}}{h}$

$=-2\times \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{7h}{2}}{\frac{7h}{2}}\times \frac{7}{2}\times \underset{h\to 0}{lim}\sin \left(\frac{14x+7h}{2}\right)$

$=-2\times 1\times \frac{7}{2}\times \underset{h\to 0}{lim}\sin \left(\frac{14x+7h}{2}\right)$

$=-2\times 1\times \frac{7}{2}\times \sin 7x[h\Rightarrow 0\frac{7h}{2}\Rightarrow 0]$

$=-7\sin 7x$

$\therefore$ নির্ণেয় অন্তরজ : $-7\sin 7x$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

এবং $y=\sqrt{8+5f\left(2x\right)}$

বা, $y=\sqrt{8+5\sin 2x}$

বা, $y^2=8+5\sin 2x$

$X$ এর সাপেক্ষে অনন্তরীকরণ করে পাই,

$2y\cdot y_1=0+5\cdot 2\cos 2x$

বা, $y\cdot y_1=5\cos 2x$

বা, $\frac{d}{dx}\left(y{y}_1\right)=\frac{d}{dx}(5\cos 2x)$

বা, $y\frac{d}{dx}{y}_1+y_1\frac{d}{dx}y=5\frac{d}{dx}\cos 2x$

বা, $y\cdot y_2+y_1\cdot y_1=-5.2\sin 2x$

বা, $y\cdot y_2+y_1^2=-10\sin 2x$

বা, $y\cdot y_2+y_1^2+2y^2=-10\sin 2x+2y^2$

[ উভয়পক্ষে $2y^2$ যোগ করে ]

বা, $y\cdot y_2+y_1^2+2y^2=-10\sin 2x+2(8+5)\sin 2x$

বা, $y\cdot y_2+y_1^2+2y^2=-10\sin 2x+16+10\sin 2x$

$\therefore y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+2y^2=16$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $=16$