সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প- :f(x,y)=x2+y2−10x+6y+25 g(x,y)=x2+y2+6x−6y−3…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$f(x,y)=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-10x+6y+25=0....\left(i\right)$

(i) নং বৃত্তের সমীকরণকে বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$g=-5;f=3;c=25$

$\therefore$ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র $C_1(5,-3)$

এবং (i) নং বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r_1=\sqrt{(-5{)}^2+3^2-25}$

$=\sqrt{25+9-25}$

= 3

আবার,

$g(x,y)=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+6x-6y-31=0....\left(ii\right)$

(ii) নং বৃত্তের সমীকরণকে বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$এর সাথে তুলনা করে পাই,

$g=3;f=-3;c=-31$

$\therefore$ (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র$C_2(-3,3)$

এবং (ii) নং বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r_2=\sqrt{3^2+(-3{)}^2-(-31)}$

$=\sqrt{9+9+31}$

$=\sqrt{49}=7$

(i) নং বৃত্তে ও (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$c_1{c}_2=\sqrt{(5+3{)}^2+(-3-3{)}^2}$

$=\sqrt{64+36}$

$=\sqrt{100}$

= 10

ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল, $=r_1+r_2$

= 3 + 7

= 10

$\therefore c_1{c}_2=r_1+r_2$

$\therefore$ বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল।

$\therefore$ (i) নং বৃত্ত ও (ii) নং বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। (দেখানো হলো)

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

বৃত্তের কেন্দ্র D(-10,0)

আবার,

বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করে।

$\therefore$ ‍বৃত্তের ব্যাসার্ধ = |কেন্দ্রের ভুজ|

= |-10|

= 10

$\therefore$ কেন্দ্র (-10,0) এবং ব্যাসার্ধ 10 একক বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x+10{)}^2+(y-0{)}^2={10}^2$

$\Rightarrow x^2+20x+100+y^2-100=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+20x=0.....\left(i\right)$

এবং 0C জ্যা এর সমীকরণ

$y=2x$

$\Rightarrow 2x-y=0.....\left(ii\right)$

(i) নং বৃত্ত ও (ii) নং রেখার ছেদ বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+20x+k(2x-y)=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+20x+2kx-ky=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+2x(k+10)-ky=0.$..... (iii)

(iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-(k+16),\frac{k}{2})$

$\therefore$ (ii) নং রেখা (iii) নং বৃত্তের ব্যাস।

$\therefore \{-(k+10),k/2\}$  বিন্দুটি (ii) নং রেখার উপর অবস্থিত।

$\therefore 2z-(k+10)\}-\frac{k}{2}=0$

$=1-2k-20-\frac{k}{2}=0$

$\Rightarrow -4k-40-k=0$

$\Rightarrow -5k=40$

$\therefore k=-8$

(iii) নং সীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2x(-8+10)-(-8)y=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+4x+8y=0$

এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।