সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : f(y)=y,g(x,y)=x2+y2−225…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(y\right)=y$

$\therefore f\left(x^2\right)=x^2$

প্রদত্ত রাশি $={\int }_0^{8}f(x{)}^2\sqrt{64-f\left(x^2\right)}dx$

ধরি, $x=8\sin \theta$

বা, $\mathrm{dx}=8\cos \theta d\theta$

$={\int }_0^8{x}^2\sqrt{64-x^2}\mathrm{dx}$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}64{\sin }^2\theta \sqrt{64-646{\sin }^2\theta }\cdot 8\cos \theta d\theta$

$=64.64{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\theta \cdot \sqrt{{\cos }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta$

$=4096{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\theta \cdot {\cos }^2\theta d\theta$

$=1024{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}4{\sin }^2\theta \cdot {\cos }^2\theta d\theta$

$=1024{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2\sin \theta \cdot \cos \theta {)}^{2}d\theta$

$=1024{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}2\theta d\theta$

$=512{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\sin }^{2}2\theta d\theta$

$=512{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 4\theta )d\theta$

$=512{[\theta -\frac{\sin 4\theta }{4}]}^{\frac{\pi }{2}}$

$=512[(\frac{\pi }{2}-\frac{\sin 2\pi }{4})-(0-0\left)\right]$

$=512[\frac{\pi }{2}-0-0]$

$=256\pi$

নির্ণেয় মান : $256\pi$

দেওয়া আছে,

$g(x,y)=x^2+y^2-225$

এখন, $g(x,y)=0$

বা, $x^2+y^2-225=0$

ধরি $x=15\sin \theta$

বা, $dx=15\cos \theta d\theta$

বা, $x^2+y^2=225$

বা, $x^2+y^2=(15{)}^2$

বা, $y^2=(15{)}^2-x^2$

বা, $y=\sqrt{(15{)}^2-x^2}$

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=2{\int }_0^{15}\mathrm{ydx}$

$=2{\int }_0^{15}\sqrt{(15{)}^2-x^2}dx$

$=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{(15{)}^2-(15{)}^2{\sin }^2\theta }\cdot 15\cos \theta d\theta$

$=30.15{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta$

$=450{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \cdot \cos \theta d\theta$

$=225{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\cos }^2\theta d\theta$

$=225{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta$

$=225{[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=225[(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin \pi }{2})-(0+\frac{0}{2})]$

$=225(\frac{\pi }{2}+0-0)$

$=\frac{225\pi }{2}$ বর্গ একক

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রগফল $\frac{225\pi }{2}$ বর্গ একক।