সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: g(x)=xcosec−11x,y=cos⁡(msin−1⁡p)।…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x{\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{1}{x}$

$\therefore g\left(x\right)=x{\sin }^{-1}x$

$\therefore \int x{\sin }^{-1}xdx={\sin }^{-1}x\int xdx-\int \{\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)\int xdx\}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{x^2}{2}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{1-(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x+\frac{1}{2}[\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x]+c$

[যেখানে, c সমাকলন ধ্রুবক]

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}{\sin }^{-1}x+\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+c$

নির্ণেয় যোজিত ফল $=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}{\sin }^{-1}x+\frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}+c$.

দেওয়া আছে, $y=\cos (m{\sin }^{-1}p)$

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1=\frac{d}{\mathrm{dx}}\{\cos (m{\sin }^{-1}p)\}$

বা, $y_1=-\sin (m{\sin }^{-1}p)\cdot \frac{m}{\sqrt{1-p^2}}$

বা, $y_1\sqrt{1-p^2}=-m\sin (m{\sin }^{-1}p)$

বা, $y_1^2(1-p^2)=m^2{\sin }^2(m{\sin }^{-1}p)$

বা, $y_1^2(1-p^2)=m^2\{1-{\cos }^2(m{\sin }^{-1}p)\}$

বা, $y_1^2(1-p^2)=m^2(1-y^2)$

বা, $(1-p^2)2y_1\cdot y_2-2p{y}_1^2=-2m^{2}y\cdot y_1$

$\therefore (1-p^2)y_2-p{y}_1+m^{2}y=0$. (প্রমাণিত)