সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : h(x)=ax2+bx+c,g(x)=lx2+mx+n.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$
এবং $h\left(x\right)=0$
বা, $a{x}^2+bx+c=0$$..........\left(1\right)$
$\left(1\right)$ নং এর একটি মূল $\alpha$ হলে অপরটি হবে ${\alpha }^3$

$\therefore \alpha +{\alpha }^3=-\frac{b}{a}$

এবং $\alpha \cdot {\alpha }^3=\frac{c}{a}$
বা, ${\alpha }^4=\frac{c}{a}$

$\therefore {\alpha }^2=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$

এখন, $\alpha +{\alpha }^3=-\frac{b}{a}$
বা ${(\alpha +{\alpha }^3)}^2={\left(\frac{-b}{a}\right)}^2$ [বর্গ করে]
বা, ${\alpha }^2+2{\alpha }^4+{\alpha }^6=\frac{b^2}{a^2}$
বা, ${{\alpha }^2+2{\alpha }^4+{\alpha }^2)}^3=\frac{b^2}{a^2}$
বা, $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+2\frac{c}{a}+{\left(\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}\right)}^3=\frac{b^2}{a^2}$
বা, $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}$
বা, $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}(1+\frac{c}{a})=\frac{b^2-2ca}{a^2}$
বা, $\frac{c}{a}{\left(\frac{a+c}{a}\right)}^2={\left(\frac{b^2-2ca}{a^2}\right)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $\frac{c}{a}\frac{(a+c{)}^2}{a^2}=\frac{{(b^2-2ca)}^2}{a^4}$
বা, $c(a+c{)}^2=\frac{{(b^2-2ca)}^2}{a}$
$\therefore ac(c+a{)}^2={(b^2-2ca)}^2$. (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ এবং $h\left(x\right)=0$

$\therefore a{x}^2+bx+c=0$$........\left(i\right)$

আবার, $g\left(x\right)=l{x}^2+\mathrm{mx}+n$ এবং $g\left(x\right)=0$

$\therefore l{x}^2+mx+n=0$$........\left(ii\right)$

মনে করি, $\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলত্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

আবার, মনে করি, $\left(ii\right)$নং সমীকরণের মূলঘ্যয় $\gamma$ ও $\delta$

$\therefore \gamma +\delta =-\frac{m}{l}$ এবং $\gamma \delta =\frac{n}{l}$

শর্তমতে, $\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\gamma }{\delta }$
বা, $\frac{\alpha +\beta }{\alpha -\beta }=\frac{\gamma +\delta }{\gamma -\delta }$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{(\alpha +\beta {)}^2}{(\alpha -\beta {)}^2}=\frac{(\gamma +\delta {)}^2}{(\gamma -\delta {)}^2}$ [বর্গ করে]
বা, $\frac{(\alpha +\beta {)}^2}{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\frac{(\gamma +\delta {)}^2}{(\gamma +\delta {)}^2-4\gamma \delta }$ 

বা, $\frac{{(-\frac{b}{a})}^2}{{(-\frac{b}{a})}^2-\frac{4c}{a}}=\frac{{(-\frac{m}{l})}^2}{{(-\frac{m}{l})}^2-\frac{4n}{l}}$
বা, $\frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\frac{m^2}{l^2}}{\frac{m^2}{l^2}-\frac{4n}{l}}$.
বা, $\frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\frac{\frac{m^2}{l^2}}{\frac{m^2-4nm}{l^2}}$
বা, $\frac{b^2}{b^2-4ca}=\frac{m^2}{m^2-4ln}$
বা, $\frac{b^2-4ca}{b^2}=\frac{m^2-4ln}{m^2}$ [বিপরীত করে]
বা, $\frac{b^2-4ca-b^2}{b^2}=\frac{m^2-4ln-m^2}{m^2}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{-4\mathrm{ca}}{b^2}=\frac{-4\ln }{m^2}$
বা, $\frac{\mathrm{ca}}{b^2}=\frac{\ln }{m^2}$
বা, $b^2\ln =m^{2}ca$
$\therefore b^2\ln -m^2\mathrm{ca}=0$. (দেখানো হলো)