সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-I: y(x+1)(x+2)−x+4=0দৃশ্যকল্প-II :…’ ঝালকাঠি সরকারি কলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y(x+1)(x+2)-x+4=0\dots \dots$ (i)

যেহেতু বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে ছেদ করে।
সুতরাং $y=0$
$y$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
$0(x+1)(x+2)-x+4=0$

বা, $0-x+4=0$

$\therefore x=4$
$\therefore$ ছেদববিন্দু $(4,0)$
(i) নং হতে পাই,
$y(x^2+3x+2)-x+4=0$
$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d}{dx}\{y(x^2+3x+2)-x+4\}=\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(0\right)$

বা, $y(2x+3)+(x^2+3x+2)\frac{dy}{dx}-1+0=0$
বা, $(x^2+3x+2)\frac{dy}{dx}=1-2xy-3y$
$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-2xy-3y}{x^2+3x+2}$

$(4,0)$ বিন্দুতে $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-2\times 4\times 0-3\times 0}{4^2+3\times 4+2}=\frac{1}{30}$
$(4,0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
$y-0=\frac{dy}{dx}(x-4)$

বা, $y=\frac{1}{30}(x-4)$
বা, $30y=x-4$
$\therefore x-30y-4=0\text{ (Ans.) }$
$(4,0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
$(x-4)+\frac{1}{30}(y-0)=0$

বা, $30x-120+y=0$
$\therefore 30x+y=120\text{ (Ans.) }$

দেওয়া আছে,
$h\left(x\right)=2x^3-3x^2-12x+1$
$\therefore h^{\prime }\left(x\right)=6x^2-6x-12$
$h^{\prime \prime }\left(x\right)=12x-6$
চরমমানের জন্য, $h^{\prime }\left(x\right)=0$
বা, $6x^2-6x-12=0$
বা, $x^2-x-2=0$
বা, $x^2-2x+x-2=0$
বা, $x(x-2)+1(x-2)=0$
বা, $(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x=-1,2$
$x=-1$ হলে $h^{\prime \prime }\left(x\right)=12(-1)-6=-18<0$
x = - 1 এর জন্য h(x) ফাংশনে সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।
$\therefore$ সর্বোচ্চ $=h(-1)$
$=2(-1{)}^3-3(-1{)}^2-12(-1)+1$
$=-2-3+12+1$
=8 (Ans.)
$x=2$ হলে, $h^{\prime \prime }\left(x\right)=12\times 2-6=18>0$
$x=2$ এর জন্য $h\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।
$\therefore$ সর্বনিম্ন মান $=h\left(2\right)$
$=2\times 2^3-3\times 2^2-12\times 2+1$
$=16-12-24+1$
=-19 (Ans.)