সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: PQ রেখার…’ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

যেহেতু বৃত্তটি $PQ$ রেখাকে R বিন্দুতে স্পর্শ করে। সুতরাং $R$ বিন্দুগামী এবং $PQ$ রেখার উপর লম্ব রেখা বৃত্তটির কেন্দ্রগামী হবে।

এখানে, $PQ$ রেখার সমীকরণ, $4x+3y=31$

$PQ$ রেখার উপর লম্বরেখা অর্থাৎ,

$3x-4y+k=0$ ........ (i)

রেখাটি $(7,1)$ বিন্দুগামী

$\therefore 3.7-4.11+k=0$

বা, $21-4+k=0$

বা, $17+k=0$

$\therefore k=-17$

$k$ এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$3x-4y-17=0$

বা, $3x-4y=17$ ....... (ii)

ধরি, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ,

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ....... (iii)

যার কেন্দ্র $(-g,-f)$, যা (i)নং রেখার উপর অবস্থিত।

$\therefore -3g+4f=17$ ........ (iv)

আবার, (iii)নং বৃত্ত $(7,1)$ বিন্দুগামী.

$49+1+14g+2f+c=0$

বা, $14g+2f+c=-50$ ...... (v)

এবং (iii)নং বৃত্ত $(6,2)$ বিন্দুগামী,

$36+4+12g+4f+c=0$

বা, $12g+4f+c=-40$ ........ (vi)

(iv)নং এবং $3\times$ (vii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$-3g+4f=17$

$\underset{―}{3g-3f=-15}$

$f=2$

$f$ এর মান (vii)নং এ বসিয়ে পাই,

$g-2=-5$

বा, $g=-5+2=-3$

$\therefore g=-3$

$g$ ও $f$ এর মান (v) এ বসিয়ে পাই,

$14(-3)+2\times 2+c=-50$

বा, $-42+4+c=-50$

বा, $-38+c=-50$

বा, $c=-50+38$

$\therefore c=-12$

এখন, $g,f$ ও এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2-6x+4y-12=0$

ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,

বৃত্তটির সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0...........\left(i\right)$

যেহেতু বৃত্তটি $x$ ও $y$ উভয় অক্ষকে যথাক্রমে $(-1,0)$ ও $(0,–1)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে তাই এর কেন্দ্র $(-g,-1)=(-1,-1)$ হবে।

$\therefore g=1$ এবং $f=1$

 আবার, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে $c=g^2=f^2=1$

$g,f$ ও c এর মান (i) নং এ বসাই,

$x^2+2\times 1\times x+2\times 1\times y+1=0$

বা, $x^2+y^2+2x+2y+1=0$

যেহেতু, বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(-1,-1)$

$\therefore$ ব্যাসার্ধ $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{1^2+1^2-1}=1$

বৃত্তটির স্পর্শক $x+y+4=0$ রেখার সমান্তরাল। তাহলে, বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ, $x+y+k=0$...... (ii)

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

$\therefore \left|\frac{-1-1+k}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|=1$

বা, $\left|\frac{-2+k}{\sqrt{2}}\right|=1$

বা, $\left|\frac{(k-2)}{\sqrt{2}}\right|=1$

বা, $k-2=\pm \sqrt{2}$

$\therefore k=2\pm \sqrt{2}$

$k$ এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x+y+2\pm \sqrt{2}=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $x+y+2\pm \sqrt{2}=0$