সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$x^2+y^2-10x-16y+64=0$

কেন্দ্র $(5,8)$

ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(-5{)}^2+(-8{)}^2-64}=\sqrt{25+64-64}=5$

কেন্দ্র (5,8) থেকে $3x-4y-8=0$

রেখাটির লম্ব দূরত্ব $=\frac{|3\times 5-4\times 8-8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

$=\frac{|-25|}{5}=5$= বৃত্তটির ব্যাসার্ধ

$\therefore 3x-4y-8=0$ সরলরেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের একটি স্পর্শক। (দেখানো হলো)

আবার $3x-4y-8=0$$$ (i) রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ,

$4x+3y+k=0\dots \dots \left(ii\right)$

(ii) নং $(5,8)$ বিন্দুগামী। 

$4\times 5+3\times 8+k=0\therefore k=-44$

$k$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে,

$4x+3y-44=0$ ....... (iii)

(i) নং কে 3 দ্বারা এবং (iii) নং কে 4 দ্বারা গুণ করে যোগ করি, 

$9x-12y-24+16x+12y-176=0$

বা, $25x=200\therefore x=8$

$x$ এর মাन (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$3\times 8-4y-8=0$ বা, $4y=16\therefore y=4$

$\therefore$ স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(8,4)$ (Ans.)

কেন্দ্র $(0,-1)$ হতে $4x+3y+8=0$

সরলরেখার লম্ব দূরত্ব $=\frac{|4\times 0+3(-1)+8|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8-3|}{5}=1$

যেহেতু প্রদত্ত সরলরেখাটি $(0,-1)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক

সুতরাং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 1

$\therefore$ বৃত্তের সমীকরণ, $(x-0{)}^2+(y+1{)}^2=1^2$

বা, $x^2+y^2+2y+1=1$

$\therefore x^2+y^2+2y=0$ (Ans.)