সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : x3+qx+r=0…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$x^3+qx+r=0$

$\Rightarrow x^3+0\cdot x^2+qx+r=0\dots \dots \left(i\right)$

$\left(i\right)$ নং সমীকরণের তিনটি মূল $\alpha ,\beta ,\gamma$।

বহুপদীর মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই:

মূলত্রয়ের যোগফল, $\alpha +\beta +\gamma =0$

$\therefore \beta +\gamma =-\alpha$

দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল, $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{q}{1}=q$

মূলত্রয়ের গুণফল, $\alpha \beta \gamma =-\frac{r}{1}=-r$

যেহেতু $\alpha$, $\left(i\right)$ নং সমীকরণের একটি মূল, তাই এটি সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে:

${\alpha }^3+q\alpha +r=0$

$\Rightarrow {\alpha }^3=-r-q\alpha$

এখন,

বামপক্ষ $=(\beta -\gamma {)}^2$

$=(\beta +\gamma {)}^2-4\beta \gamma$

$=(-\alpha {)}^2-4\left(\frac{-r}{\alpha }\right)$এবং$[\because \beta +\gamma =-\alpha \text{ এবং }\alpha \beta \gamma =-r\Rightarrow \beta \gamma =\frac{-r}{\alpha }]$

$={\alpha }^2+\frac{4r}{\alpha }$

$=\frac{{\alpha }^3+4r}{\alpha }$

$=\frac{-r-q\alpha +4r}{\alpha }$$[\because {\alpha }^3=-r-q\alpha ]$

$=\frac{3r-q\alpha }{\alpha }$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore (\beta -\gamma {)}^2=\frac{3r-q\alpha }{\alpha }$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$x^3+qx+r=0$

$\Rightarrow x^3+0\cdot x^2+qx+r=0\dots \dots \left(i\right)$

$\left(i\right)$ নং সমীকরণের তিনটি মূল $\alpha ,\beta ,\gamma$।

'খ' হতে প্রাপ্ত:

$\alpha +\beta +\gamma =0\Rightarrow \beta +\gamma =-\alpha ,\gamma +\alpha =-\beta ,\alpha +\beta =-\gamma$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =q$

$\alpha \beta \gamma =-r$

আমাদের $\frac{\beta +\gamma }{{\alpha }^3},\frac{\gamma +\alpha }{{\beta }^3},\frac{\alpha +\beta }{{\gamma }^3}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।

মূলগুলোকে সরল করে পাই:

$\frac{\beta +\gamma }{{\alpha }^3}=\frac{-\alpha }{{\alpha }^3}=-\frac{1}{{\alpha }^2}$

$\frac{\gamma +\alpha }{{\beta }^3}=\frac{-\beta }{{\beta }^3}=-\frac{1}{{\beta }^2}$

$\frac{\alpha +\beta }{{\gamma }^3}=\frac{-\gamma }{{\gamma }^3}=-\frac{1}{{\gamma }^2}$

এখন নতুন সমীকরণের মূলত্রয় হলো: $-\frac{1}{{\alpha }^2},-\frac{1}{{\beta }^2},-\frac{1}{{\gamma }^2}$

১. মূলত্রয়ের যোগফল:

$=(-\frac{1}{{\alpha }^2})+(-\frac{1}{{\beta }^2})+(-\frac{1}{{\gamma }^2})$

$=-(\frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}+\frac{1}{{\gamma }^2})$

$=-\left(\frac{{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2{\alpha }^2+{\alpha }^2{\beta }^2}{{\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^2}\right)$

$=-\frac{(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha {)}^2-2\alpha \beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )}{(\alpha \beta \gamma {)}^2}$

$=-\frac{(q{)}^2-2(-r\left)\right(0)}{(-r{)}^2}$

$=-\frac{q^2}{r^2}$

২. দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল:

$=(-\frac{1}{{\alpha }^2})(-\frac{1}{{\beta }^2})+(-\frac{1}{{\beta }^2})(-\frac{1}{{\gamma }^2})+(-\frac{1}{{\gamma }^2})(-\frac{1}{{\alpha }^2})$

$=\frac{1}{{\alpha }^2{\beta }^2}+\frac{1}{{\beta }^2{\gamma }^2}+\frac{1}{{\gamma }^2{\alpha }^2}$

$=\frac{{\gamma }^2+{\alpha }^2+{\beta }^2}{{\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^2}$

$=\frac{(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )}{(\alpha \beta \gamma {)}^2}$

$=\frac{(0{)}^2-2(q)}{(-r{)}^2}$

$=\frac{-2q}{r^2}=-\frac{2q}{r^2}$

৩. মূলত্রয়ের গুণফল:

$=(-\frac{1}{{\alpha }^2})\times (-\frac{1}{{\beta }^2})\times (-\frac{1}{{\gamma }^2})$

$=-\frac{1}{{\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^2}$

$=-\frac{1}{(\alpha \beta \gamma {)}^2}$

$=-\frac{1}{(-r{)}^2}$

$=-\frac{1}{r^2}$

নির্ণেয় সমীকরণ:

$x^3-($ মূলত্রয়ের যোগফল $)x^2+($ দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল $)x-($ মূলত্রয়ের গুণফল $)=0$

$\Rightarrow x^3-(-\frac{q^2}{r^2})x^2+(-\frac{2q}{r^2})x-(-\frac{1}{r^2})=0$

$\Rightarrow x^3+\frac{q^2}{r^2}{x}^2-\frac{2q}{r^2}x+\frac{1}{r^2}=0$

উভয়পক্ষকে $r^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\therefore r^2{x}^3+q^2{x}^2-2qx+1=0$

নির্ণেয় সমীকরণ: $r^2{x}^3+q^2{x}^2-2qx+1=0$