সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প: x=sin⁡θ এবং…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $1-x^2=z$

$\therefore -2xdx=dz$

দেওয়া আছে, $x=\sin \theta$

$\therefore \theta ={\sin }^{-1}x$

$\therefore \int \theta dx=\int {\sin }^{-1}xdx={\sin }^{-1}x\int dx-\int \{\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)\int dx\}dx$

$=x{\sin }^{-1}x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$=x{\sin }^{-1}x+\frac{1}{2}\int \frac{-2xdx}{\sqrt{1x^2}}$

$=x{\sin }^{-1}x+\frac{1}{2}\int \frac{dz}{\sqrt{z}}=x{\sin }^{-1}x+\frac{1}{2}\frac{\frac{-1}{2}+1}{\frac{-1}{2}+1}+c$

$=x{\sin }^{-1}x+\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{z}+c=x{\sin }^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+c$

$\therefore {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\theta dx={[x{\sin }^{-1}x+\sqrt{1-x^2}]}_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\pi }{4}+\frac{1}{\sqrt{2}}-0-1=\frac{\pi }{4\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-1$

নির্ণেয় মান : $\frac{\pi }{4\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-1$.

দেওয়া আছে, $h(x,y)=y^2+x$

আবার, $h(x,y)=0$

বা, $y^2+x=0$

$\therefore y^2=-x$

উক্ত সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।

$y=x$ একটি সরলরেখার সমীকরণ

$y^2=-x$ পরাবৃত্ত এবং $y=x$ সরলরেখার ছেদবিন্দুতে

$y^2=-y$

বা, $y^2+y=0$

বা, $y(y+1)=0$

হয়, y=0

অথবা, $y+1=0$

$\therefore y=-1$

সুতরাং $y^2=-x$ এবং $y=x$ পরস্পরকে $(0,0)$ এবং $(-1,-1)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore y^2=-x$ পরাবৃত্ত এবং $y=x$ সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফফল

$={\int }_{-1}^0(x_1-x_2)dy={\int }_{-1}^0(-y^2-y)dy$

$={[-\frac{y^3}{3}-\frac{y^2}{2}]}_{-1}^0$

$=0-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})=-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{6}$ বর্গ একক

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{6}$ বর্গ একক।