সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : z1=a−ib,z2=c−id,f(x)=px2+qx+r.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z_1=a-ib$

এবং $z_2=c-id$

এখানে, $x:y=z_1:z_2$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{z_1}{z_2}$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{a-ib}{c-id}$ 

বা, $x(c-id)=y(a-ib)$
বা, $cx-idx=ay-iby$
বা, $cx-ay=idx-iby$
বা. $(cx-ay{)}^2=(idx-iby{)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $(cx{)}^2-2\cdot cx\cdot ay+(ay{)}^2=(idx{)}^2-2\cdot idx\cdot iby+(iby{)}^2$
বা, $c^2{x}^2-2acxy+a^2{y}^2=i^2{d}^2{x}^2-2i^{2}bdxy+i^2{b}^2{y}^2$
বা, $c^2{x}^2-2acxy+a^2{y}^2=-d^2{x}^2+2bdxy-b^2{y}^2[\because i^2=-1]$
বা, $c^2{x}^2+d^2{x}^2+a^2{y}^2+b^2{\dot{y}}^2=2acxy+2bdxy$
$\therefore (c^2+d^2)x^2+(a^2+b^2)y^2=2(ac+bd)xy$. (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r$ 

$\therefore f\left(\omega \right)=p{\omega }^2+q\omega +r$ 

এবং $f\left(\frac{l}{\omega }\right)=\frac{p}{{\omega }^2}+\frac{q}{\omega }+r$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{p{\omega }^3}{{\omega }^2}+\frac{q{\omega }^3}{\omega }+r[\because {\omega }^3=1]\\ & =p\omega +q{\omega }^2+r\end{array}$ 

এখন, $\left\{f\right(\omega ){\}}^3+{\left\{f\left(\frac{1}{\omega }\right)\right\}}^3=0$ হলে,
 ${(p{\omega }^2+q\omega +r)}^3+{(p\omega +q{\omega }^2+r)}^3=0$

বা, ${(p{\omega }^2+q\omega +r)}^3=-{(p\omega +q{\omega }^2+r)}^3$
বা, ${\left(\frac{p{\omega }^2+q\omega +r}{p\omega +\dot{q}{\omega }^2+r}\right)}^3=-1$
বা, $\frac{p{\omega }^2+q\omega +r}{p\omega +q{\omega }^2+r}=\sqrt[3]{-1}=-1,-\omega ,-{\omega }^2$ 

অর্থাৎ, $\frac{p{\omega }^2+q\omega +r}{p\omega +q{\omega }^2+r}=-1$
বা, $p{\omega }^2+q\omega +r=-p\omega -q{\omega }^2-r$
বা, $p{\omega }^2+q\omega +r+p\omega +q{\omega }^2+r=0$
বা, $p({\omega }^2+\omega )+q(\omega +{\omega }^2)+2r=0$
বা, $-p-q+2r=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$\therefore 2r=p+q$ 

আবার, $\frac{p{\omega }^2+q\omega +r}{p\omega +q{\omega }^2+r}=-\omega$
বা, $p{\omega }^2+q\omega +r=-p{\omega }^2-q{\omega }^3-r\omega$
বা, $p{\omega }^2+q\omega +r+p{\omega }^2+q{\omega }^3+r\omega =0$
বা, $2p{\omega }^2+q(\omega +{\omega }^3)+r(1+\omega )=0$
বা, $2p{\omega }^2+q(\omega +1)+r(1+\omega )=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $2p{\omega }^2-q{\omega }^2-r{\omega }^2=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $2p+q-r=0$ [ ${\omega }^2$ দ্বারা ভাগ করে]
$\therefore 2p=q+r$
আবার, $\frac{p{\omega }^2+q\omega +r}{p\omega +q{\omega }^2+r}=-{\omega }^2$ 

বা, $p{\omega }^2+q\omega +r=-p{\omega }^3-q{\omega }^4-r{\omega }^2$
বা, $p{\omega }^2+q\omega +r+p{\omega }^3+q{\omega }^4+r{\omega }^2=0$
বা, $p{\omega }^2+q\omega +r+p+q\omega +r{\omega }^2=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $p({\omega }^2+1)+2q\omega +r(1+{\omega }^2)=0$
বা, $-p\omega +2q\omega -2\omega =0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $-p+2q-r=0$ [ $\omega$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore 2q=r+p$

অতএব, $2p=q+r,2q=r+p$ এবং $2r=p+q$. (দেখানো হলো)