সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : z=x+iy.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে; z = x + iy এখন, $|3z+1|=|z-3i|$
বা; $\left|3\right(x+iy)+1|=|x+iy-3i|$
বা, $|3x+3iy+1|=|x+iy-3i|$
বা, $\left|\right(3x+1)+i3y|=|x+i(y-3\left)\right|$
বা, $\sqrt{(3x+1{)}^2+(3y{)}^2}=\sqrt{x^2+(y-3{)}^2}$
বা, $(3x+1{)}^2+(3y{)}^2=x^2+(y-3{)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $9x^2+6x+1+9y^2=x^2+{\dot{y}}^2-6y+9$
বা, $9x^2+6x+1+9y^2-x^2-y^2+6y-9=0$
বা, $8x^2+8y^2+6x+6y-8=0$
বা, $8(x^2+y^2+\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}y-1)=0$ 

$\therefore x^2+y^2+\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}y-1=0;$ যা একটি বৃত্তের সমীকরণ। 

নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, $x^2+y^2+\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}y-1=0$. 

দেওয়া আছে, $z=x+\mathrm{iy}$
এখন, $z=\sqrt[3]{3+5i}$ হলে, $x+iy=\sqrt[3]{3+5i}$
বা, $(x+iy{)}^3=3+5i$ [ঘন করে]
বা, $x^3+3x^2.iy+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3=3+5i$
বা, $x^3+3i{x}^{2}y-3x{y}^2-i{y}^3=3+5i[\because i^2=-1$ এবং $i^3=-i]$
বা, $(x^3-3x{y}^2)+i(3x^{2}y-y^3)=3+i5$ 

উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, 

$x^3-3x{y}^2=3$ 
বা, $x(x^2-3y^2)=3$
বা, $x^2-3y^2=\frac{3}{x}$
বা, $\frac{x^2-3y^2}{4}=\frac{3}{4x}$..........(i)

এবং $3x^{2}y-y^3=5$
বা, $y(3x^2-y^2)=5$
বা, $3x^2-y^2=\frac{5}{y}$
বা, $\frac{3x^2-y^2}{4}=\frac{5}{4y}$ ..........(ii)

বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{3}{4x}+\frac{5}{4y}}$ 

$=\sqrt{\frac{x^2-3y^2}{4}+\frac{3x^2-y^2}{4}}$ [(1)নং ও (2)নং হতে] 

$=\sqrt{\frac{x^2-3y^2+3x^2-y^2}{4}}=\sqrt{\frac{4x^2-4y^2}{4}}$ 

$=\sqrt{\frac{4(x^2-y^2)}{4}}=\sqrt{x^2-y^2}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \sqrt{\frac{3}{4x}+\frac{5}{4y}}=\sqrt{x^2-y^2}$. (প্রমাণিত)