সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকম্ব-১ : f(x)=tan−1⁡(11+x+x2)দৃশ্যকক্ষ-২…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^2}\right)$ 

$\begin{array}{cc}\therefore f\left(0\right)& ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+0+0^2}\right)={\tan }^{-1}\left(1\right)\\ f\left(1\right)& ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+1+1^2}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\\ f\left(2\right)& ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1+2+2^2}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\end{array}$ 

বামপক্ষ $=f\left(0\right)+2f\left(1\right)+f\left(2\right)$ 

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}1+2{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\\ & ={\tan }^{-1}1+{\tan }^{-1}\left\{\frac{2\frac{1}{3}}{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\right\}+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\\ & =\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9-1}{9}}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\\ & =\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}(\frac{2}{3}\times \frac{9}{8})+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\\ & =\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}+{\tan }^{-1}\frac{1}{7}=\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{7}}\right)\\ & =\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{21+4}{28}}{\frac{28-3}{28}}\right)=\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}\right)\end{array}$ 

$=\frac{\pi }{4}+{\tan }^{-1}\left(1\right)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore f\left(0\right)+2f\left(1\right)+f\left(2\right)=\frac{\pi }{2}$. (দেখানো হলো) 

(i) DEGREE শব্দটিতে ৮টি বর্ণের মধ্যে 3 টি E রয়েছে। শব্দটি থেকে $4$ টি বর্ণ নিম্নলিখিত উপায়ে বাছাই করা যায়।
1. 3 টি E ও 3 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে 1 টি।
2. 2 টি E ও 3 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে 2 টি।
3. 4টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ।
∴ মোট বাছাই সংখ্যা $=1\times {}^3{C}_1+{}^3{C}_2\times 1+{}^4{C}_4=3+3+1=7$
(ii) আবার,
1. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় $=3\times \frac{4!}{3!}=3\times 4=12$ উপায়ে।
2. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় $=3\times \frac{4!}{2!}=3\times 12=36$ উপায়ে।
3. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় $=1\times 4!=24$ উপায়ে।
∴ মোট সাজানো যায় $=12+36+24=72$ উপায়ে
নির্ণেয় প্রত্যেকবারে 4টি বর্ণ নিয়ে 7 প্রকারে বাছাই এবং 72 উপায়ে সাজানো যাবে।