সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকর: f(x)=log3⁡x এবং…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\dot{f}\left(x\right)={\log }_{3}x$

$\therefore f\left(\sqrt{2}x\right)={\log }_3\sqrt{2}x$

$\therefore \frac{d}{dx}f\left(\sqrt{2}x\right)=\underset{h\to 0}{lim}=\frac{f\left(\sqrt{2}\right(x+h\left)\right)-f\left(\sqrt{2}x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_3\left(\sqrt{2}\right(x+h\left)\right)-{\log }_3\sqrt{2}x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_3\frac{\sqrt{2}(x+h)}{\sqrt{2}x}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_3\frac{x+h}{x}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_3(1+\frac{h}{x})}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{\ln 3}[\because {\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}]$

$=\frac{1}{\ln 3}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{h}$

$=\frac{1}{\ln 3}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (1+t)}{tx}$ [ধরি, $t=\frac{h}{x}\therefore h=tx]$

$=\frac{1}{x\ln 3}\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (1+t{)}^{\prime }}{t}$

$=\frac{1}{x\ln 3}\times 1=\frac{1}{x\ln 3}$

দেওয়া আছে, $u=\cos \sqrt{T}$ এবং $T=2v$

শর্তানুসারে, $u=\cos \sqrt{2v}$

বা, ${\cos }^{-1}u=\sqrt{2v}$

বা, $\sqrt{2v}={\cos }^{-1}u$

বা, $2v={({\cos }^{-1}u)}^2$ ........ (i) বর্গ করে]

বা, $2v_1=2({\cos }^{-1}u)\frac{-1}{\sqrt{1-u^2}}$

[উভয়পক্ষে u এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

বা, $v_1\sqrt{1-u^2}=-({\cos }^{-1}u)$

বা, $v_1^2(1-u^2)={({\cos }^{-1}u)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $v_1^2(1-u^2)=2v\left[\right(i)$ নং হতে $]$

বা, $v_1^2(-2u)+(1-u^2)\left(2v_1{v}_2\right)=2v_1$

বা, $(1-u^2)v_2-u{v}_1=1$ [উভয়পক্ষকে $2v_1$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $(1-u^2)v_2-u{v}_1-1=0$. (দেখানো হলো)