সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যপট-১: f(y)=eyদৃশ্যপট-২ :…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=e^x$,

$\therefore f\left(\sqrt{3}x\right)=e^{\sqrt{3}x}$

ধরি, $g\left(x\right)=e^{\sqrt{3}x}\therefore g(x+h)=e^{\sqrt{3}(x+h)}=e^{\sqrt{3}x}\cdot e^{\sqrt{3}h}$

অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$\frac{d}{dx}\left\{g\right(x\left)\right\}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

$\therefore \frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{3}x}\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{3}(x+h)}-e^{\sqrt{3}x}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{3}x}\cdot e^{\sqrt{3}h}-e^{\sqrt{3}x}}{h}=e^{\sqrt{3}x}\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{3}h}-1}{h}$

$=e^{\sqrt{3}x}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\{(1+\sqrt{3}h+\frac{(\sqrt{3}{)}^2{h}^2}{2!}+\frac{(\sqrt{3}{)}^3{h}^3}{3!}+\dots ..)-1\}$

$=e^{\sqrt{3}x}\underset{h\to 0}{lim}(\sqrt{3}+\frac{(\sqrt{3}{)}^{2}h}{2!}+\frac{(\sqrt{3}{)}^3{h}^2}{3!}+\dots \dots ..)$

$=e^{\sqrt{3}x}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}{e}^{\sqrt{3}x}$

$\therefore \frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{3}x}\right)=\sqrt{3}{e}^{\sqrt{3}x}.$

দেওয়া আছে, $\sqrt{x}=\frac{1}{2}\sqrt{\sin \sqrt{y}}$

বা, $(\sqrt{x}{)}^2={\left(\frac{1}{2}\sqrt{\sin \sqrt{y}}\right)}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $x=\frac{1}{4}\sin \sqrt{y}$

বা, $\sin \sqrt{y}=4x$

বা, $\sqrt{y}={\sin }^{-1}4x$

বা, $y={({\sin }^{-1}4x)}^2$ [পুনরায় বর্গ করে]

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1=2{\sin }^{-1}4x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(4x{)}^2}}\cdot 4$

বা, $y_1=8{\sin }^{-1}4x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}}$

বা, $y_1{}^2={(8{\sin }^{-1}4x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}})}^2$ [বর্গ করে]

বা, $y_1{}^2=64{({\sin }^{-1}4x)}^2\cdot \frac{1}{1-16x^2}$

বা, $(1-16x^2)y_1^2=64{({\sin }^{-1}4x)}^2=64y$

$[\because \sqrt{y}={\sin }^{-1}4x]$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$(1-16x^2)\cdot 2y_1{y}_2+y_1^2(0-32x)=64y_1$

বা, $(1-16x^2)y_2-16x{y}_1=32[2y_1$ দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে]

$\therefore y_2(1-16x^2)-32=16{\mathrm{xy}}_1$ [প্রমাণিত]