সৃজনশীলঃ ‘দশ্যকল্প-১: একটি ট্রেন…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

স্থান দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $=4$ কি. মি.

এবং সময় 8 মিনিট।

সমত্বরণের ক্ষেত্রে :

দূরত্ব $=s_1$, সময় $=t_1$, সমত্বরণ $=m$

আমরা পাই, $v={\mathrm{mt}}_1$

বা, $\frac{v}{m}=t_1.......\left(1\right)$

এবং $s_1=\frac{1}{2}m{t}_1^2=\frac{1}{2}m{t}_1\cdot t_1=\frac{1}{2}v{t}_1.......\left(2\right)$

সমমন্দনের ক্ষেত্রে :

দূরত্ব $=s_2$, সময় $=t_2$, সমমন্দন $=n$

আমরা পাই, $0=v-{\mathrm{nt}}_2$

বা, $\frac{v}{n}=t_2.......\left(3\right)$

এবং $s_2={\mathrm{vt}}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{nt}}_2{}^2$

$={\mathrm{vt}}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_2=\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_2.......\left(4\right)$

সমীকরণ (1) ও (3) যোগ করে পাই, $\frac{v}{m}+\frac{v}{n}=t_1+t_2$

বা, $v(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=8........\left(5\right)$

আবার, সমীকরণ (2) ও (4) যোগ করে পাই.

$s_1+s_2=\frac{1}{2}v(t_1+t_2)$

বা, $4=\frac{1}{2}v.8$

$\therefore v=1$

$V$ এর মান সমীকরণ (5) নং এ বসিয়ে পাই, $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=8$. (প্রমাণিত)

মনে করি, টাওয়ার এর উচ্চতা = H

১ম পাথর টাওয়ারের শীর্ষ হতে $x$ মিটার নিচে নামার পর বেগ = $V$

$\therefore v^2=0^2+2gx$

বা, $v^2=2\mathrm{gx}$

বা, $v=\sqrt{2gx}......\left(1\right)$

আবার, ধরি, ১ম পাথর ও ২য় পাথর $t$ সময় পর ভূমিতে পৌছছে।

১ম পাথরের ক্ষেত্রে, $(H-x)$ দূরত্ব নামার বেলায় আদিবেগ $=v$, সময় $=t$$\therefore H-x=vt+\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$

বা, $H-x=\sqrt{2\mathrm{gxt}}+\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.........\left(2\right)$

২য় পাথরের ক্ষেত্রে,

$(H-y)$ দূরত্ব নামার বেলায় আদিবেগ $=0$, সময় $=t$

$\therefore H-y=0+\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$

বা, $H-y=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.......\left(3\right)$

(2) ও (3) হতে পাই, $H-x=\sqrt{2gx}t+H-y$

বা, $y-x=\sqrt{2gx}t$

বা, $(y-x{)}^2=2gx{t}^2$

বা, $t^2=\frac{(y-x{)}^2}{2gx}$

বা, $\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2=\frac{(y-x{)}^2}{4x}$

(4) এর মান (3) এ বসিত়ে পাই,

$\therefore H-y=\frac{(y-x{)}^2}{4x}$

বা, $H=y+\frac{(y-x{)}^2}{4x}=\frac{4xy+y^2-2xy+x^2}{4x}$

$\therefore H=\frac{(x+y{)}^2}{4x}\cdot ($ দেখানো হলো)