সৃজনশীলঃ ‘দুইটি সরলরেখা 12x−5y+26=0…..(i)…’ ২০২৬ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $12x-5y+26=0$$....\left(i\right)$

এবং $x+5y=13$
বা, $x+5y-13=0$$....\left(ii\right)$

ধরি, (i) নং রেখা হতে 2 একক দূরবর্তী একটি বিন্দু (a,b)
এখন, $(a,b)$ বিন্দু হতে (i) নং রেখার দূরত্ব $=\frac{|12a-5b+26|}{\sqrt{{12}^2+(-5{)}^2}}$ 

প্রশ্নমতে, $\frac{|12a-5b+26|}{\sqrt{{12}^2+(-5{)}^2}}=2$
বা, $\frac{|12a-5b+26|}{13}=2$
বা, $12a-5b+26=\pm 26$
(+) চিহ্ন নিয়ে পাই, $12a-5b+26=26$

$\therefore 12a-5b=0$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই, $12a-5b+26=-26$

$\therefore 12a-5b+52=0$

আবার, (a, b) বিন্দুটি (ii)নং রেখার উপর অবস্থিত ।

$\therefore a+5b-13=0$

(iii) নং ও (v) নং যোগ করে পাই, 13a-13=0 

বা, $13a=13$ 

$\therefore a=1$ 

a-এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$12\cdot 1-5b=0$

বা, $5b=12\therefore b=\frac{12}{5}$

$\therefore (a,b)\equiv (1,\frac{12}{5})$

(iv) ও (v) নং যোগ করে পাই,

$13a+39=0$

বা, $13a=-39$
বা, $a=\frac{-39}{13}=-3$
a এর মান (v) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$-3+5b-13=0$

বা, $5b-16=0$
বা, $5b=16\therefore b=\frac{16}{5}$

$\therefore (a,b)\equiv (-3,\frac{16}{5})$

নির্ণেয় (ii) নং রেখার উপর অবস্থিত বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক 

$(1,\frac{12}{5}),(-3,\frac{16}{5})$

‘খ’ হতে প্রাপ্ত বিন্দুঘ্বয় $(-3,\frac{16}{5}),(1,\frac{12}{5})$ মনে করি, ABC ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু,

$A(-3,\frac{16}{5}),B(1,\frac{12}{5})$

এবং লম্মকেন্দ্র $P(-\frac{9}{25},\frac{9}{5})$
ধরি, ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষবিন্দু C(h, k)
এখানে, AB ও CPD পরস্পর লম্ব হওয়ায় তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1 

$\therefore \frac{\frac{12}{5}-\frac{16}{5}}{1-(-3)}\times \frac{k-\frac{9}{5}}{h-(-\frac{9}{25})}=-1$ 

বা, $\frac{-\frac{4}{5}}{4}\times \frac{\frac{5k-9}{5}}{\frac{25h+9}{25}}=-1$
বা, $\frac{1}{5}\times \frac{25(5k-9)}{5(25h+9)}=1$
বা, $25h+9=5k-9$
বা, $25h=5k-9-9$

$\therefore 25h=5k-18\dots \dots \left(i\right)$ 

আবার, BC ও APE পরস্পর লম্ব হওয়ায় তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1 

$\therefore \frac{\frac{9}{5}-\frac{16}{5}}{-\frac{9}{25}-(-3)}\times \frac{k-\frac{12}{5}}{h-1}=-1$

বা, $\frac{-\frac{7}{5}}{\frac{66}{25}}\times \frac{5k-12}{5(h-1)}=-1$ বা, $\frac{35}{66}\times \frac{5k-12}{5(h-1)}=1$
বা, $\frac{7}{66}\times \frac{5k-12}{h-1}=1$ বা, $66(h-1)=7(5k-12)$
বা, $66h-66=7(5k-18+6)$
বা, $66h-66=7(25h+6)$
[(i) নং হতে]
বা, $66h-66=175h+42$
বা, $(175-66)h=-66-42$
বা, $109h=-108\cdots h=\frac{-108}{109}$
h এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$25\times (-\frac{108}{109})=5k-18$

বা, $-\frac{2700}{109}=5k-18$ বা, $5k=18-\frac{2700}{109}=-\frac{738}{109}$
বা, $k=-\frac{738}{109\times 5}=\frac{-738}{545}\therefore k=-\frac{738}{545}$
নির্ণেয় তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক $(-\frac{108}{109},\frac{-738}{545})$.