সৃজনশীলঃ ‘দুইটি সরলরেখার সমীকরণ…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত রেখাদ্বয়, $x-2y+3=0$

এবং $2x+3y=1$

বা, $2x+3y-1=0$

ধরি, $\mathrm{ABCD}$ একটি সামাত্ঠরিক যার $\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ,

$x-2y+3=0$ ............ (i)

এবং এর সন্নিহিত বাহু AD রেখার সমীকরণ,

$2x+3y-1=0$ ........... (ii)

তাহলে (i) নং ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দুই হবে সামান্তরিকটির একটি শীর্ষ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

(i) নং ও (ii) নং হতে বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{(-2)(-1)-3.3}=\frac{y}{3.2-1.(-1)}=\frac{1}{1.3-2(-2)}$

বা, $\frac{x}{2-9}=\frac{y}{6+1}=\frac{1}{3+4}$

বা, $\frac{x}{-7}=\frac{y}{7}=\frac{1}{7}$

$\therefore \frac{x}{-7}=\frac{1}{7}$

বা, $x=\frac{-7}{7}=-1$

$\therefore x=-1$

এবং $\frac{y}{7}=\frac{1}{7}$

বা, $y=\frac{7}{7}$

$\therefore y=1$

$\therefore$ ছেদদবিন্দু $A(-1,1)$

ধরি, সামান্তরিকটি $A(-1,1)$ এবং বিপরীত শীর্ষবিন্দু $C(x_1,y_i)$

দেওয়া আছে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু $(2,-3)$

আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর মধ্যবিন্দুতে ছেদ করে।

সুতরা AC কর্ণের মধ্যবিন্দু $(2,-3)$

$\therefore \frac{x_1-1}{2}=2$

বা, $x_1-1=4$

বা, $x_1=4+1=5$

$\therefore x_1=5$

এবং $\frac{y_1-1}{2}=-3$

বা, $y_1+1=-6$

বা, $y_1=-6-1=-7$

$\therefore y_1=-7$.

$\therefore C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5,-7)$

এখন, $\mathrm{AB}$ রেখার অর্থাৎ (i)নং রেখার সমান্তরাল DC রেখার সমীকরণ,

$x-2y+k=0$ .......... (iii)

(iii)নং রেখাটি $C(5,-7)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 5-2(-7)+k=0$

বা, $5+14+k=0$

বা, $19+k=0$

$\therefore k=-19$

k এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x-2y-19=0$

অর্থাৎ DC রেখার সমীকরণ, $x-2y-19=0$

আবার AD রেখার অর্থাৎ (ii)নং রেখার সমান্তরাল BC রেখার সমীকরণ,

$2x+3y+k=0$ .......... (iv)

(iv)নং রেখাটি $C(5,-7)$ বিন্দুগামী।

$\therefore 2.5+3.(-7)+k=0$

বা, $10-21+k=0$

বা, $-11+k=0\therefore k=11$

$k$ এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2x+3y+11=0$

অর্থাৎ BC রেখার সমীকরণ, $2x+3y+11=0$

নির্ণেয় অপর বাহু দুইটির সমীকরণ $x-2y-19=0$

এবং $2x+3y+11=0$

উদ্দীপকের প্রথম সরলরেখাটি,

$x-2y+3=0$

ধরি, (i) নং রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$x-2y+k=0$

এখন (i) ও (ii) নং রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\frac{|k-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}$

$=\frac{|k-3|}{\sqrt{5}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{|k-3|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

বা, $|k-3|=\sqrt{5}\times \sqrt{5}=5$

বা, $k-3=\pm 5$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই, $k-3=5$

বা, $k=5+3=8\therefore k=8$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই, $k-3=-5$

বা, $k=-5+3=-2\therefore k=-2$

k এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

k=8 হলে, $x-2y+8=0$

k=-2 হলে, $x-2y-2=0$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $x-2y+8=0$ এবং $x-2y-2=0$.