সৃজনশীলঃ ‘দুইটি ভেক্টর যথাক্রমে…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|$

বা, $A^2+B^2+2AB\cos \alpha =A^2+B^2+2AB\cos ({180}^{\circ }-\alpha )$ৎ

বা, $2\mathrm{AB}\cos \alpha =-2\mathrm{AB}\cos \alpha$

বা, $4\mathrm{AB}\cos \alpha =0$

বা, $\cos \alpha =0$

$\therefore \alpha ={90}^{\circ }$

অতএব, দুটি ভেক্টর যখন পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করে তখন তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হয়।

এখানে, $\overrightarrow{A}=3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}$

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=$ ?

আমরা জানি, 

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 3& 4& -1\\ 1& -1& 6\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(24-1)-\hat{j}(18+1)+\hat{k}(-3-4)\\ & =23\hat{i}-19\hat{j}-7\hat{k}\end{array}$

অতএব, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$-এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর $23\hat{i}-19\hat{j}-7\hat{k}$.

এখানে, $\overrightarrow{C}=2x^{2}yz\hat{i}+y^{2}z\hat{j}+x^2{y}^2{z}^2\hat{k}$

(2, – 1, 2) বিন্দুতে $\overrightarrow{C}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে যদি উক্ত বিন্দুতে $\overrightarrow{C}$-এর ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হয়।

এখন,

$\begin{array}{cc}\mathrm{div}\left(\overrightarrow{C}\right)& =\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{C}\\ & =(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot (2x^{2}yz\hat{i}+y^{2}z\hat{j}+x^2{y}^2{z}^2\hat{k})\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(2x^{2}yz\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^{2}z\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(x^2{y}^2{z}^2\right)\\ & =4xyz+2yz+2x^2{y}^{2}z\end{array}$

(2,- 1, 2) বিন্দুতে $\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{C}$

$\begin{array}{cc}& =4\times 2\times (-1)\times 2+2\times (-1)\times 2+2\times 2^2\times (-1{)}^2\times 2\\ & =-16-4+16=-4\end{array}$

সুতরাং, $(2,-1,2)$ বিন্দুতে $\overrightarrow{C}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না।