সৃজনশীলঃ ‘দুটি গ্রহের মুক্তিবেগ…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

সর্বাপেক্ষা কম যে বেগে কোনো বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা আর পৃথিবীতে ফিরে আসে না সেই বেগকে মুক্তিবেগ বলে। অর্থাৎ মুক্তিবেগ প্রাপ্ত বস্তু পৃথিবীর আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে চলে যায় এবং তাকে আর কখনো পৃথিবীতে ফিরিয়ে আনা সম্ভব হয় না। রকেটের বেগ অনেক বেশি হলেও এই বেগের কারণে রকেট পৃথিবীর আকর্ষণ কাটিয়ে চলে যেতে পারে না এবং প্রয়োজন হলে এটিকে পৃথিবীতে আবার ফিরিয়ে আনা যায়। তাই রকেটের বেগ মুক্তিবেগ না।

ধরি, ১ম গ্রহের ভর, $M_A=M$
২য় গ্রহের ভর, $M_B=\frac{M}{8}$

গ্রহদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $R_A$ এবং $R_B$

১ম গ্রহের মুক্তিবেগ, $v_A=11.2\mathrm{km}{s}^{-1}=11200m{s}^{-1}$

২য় গ্রহের মুক্তিবেগ, $v_B=5.2\mathrm{km}{s}^{-1}=5200m{s}^{-1}$

আমরা জানি,

$v_A=\sqrt{\frac{2{\mathrm{GM}}_A}{R_A}}$....................(i) 

$v_B=\sqrt{\frac{2{\mathrm{GM}}_B}{R_B}}$.......................(ii) 

(i) নং কে (ii) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{v_A}{v_B}=\frac{\sqrt{\frac{2G_M}{R_A}}}{\sqrt{\frac{2G_B}{R_B}}}=\sqrt{\frac{M_A}{M_B}}\times \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}$

বা, $\frac{11200}{5200}=\sqrt{\frac{\frac{M}{M}}{8}}\times \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}$

বা, $2.154=\sqrt{8}\times \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}$

বা, $\sqrt{\frac{R_B}{R_A}}=\frac{2.154}{\sqrt{8}}=0.762$

বা, $\frac{R_B}{R_A}=(0.762{)}^2=0.581$
বা, $\frac{R_A}{R_B}=\frac{1}{0.581}=1.721$

$\therefore R_A:P_B=1.721:1$

সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত দুটি গ্রহের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1.721 : 1.

দেওয়া আছে,

১ম গ্রহের মুক্তিবেগ, $v_A=11200m{s}^{-1}$
২য় গ্রহের মুক্তিবেগ, $v_B=5200m{s}^{-1}$
১ম গ্রহের ভর, $M_A=M$
২য় গ্রহের ভর, $M_B=\frac{M}{8}$

গ্রহদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অনুপাত, $\frac{R_A}{R_B}=1.721$ ['গ' হতে]

ধরি, গ্রহদ্বয়ের অভিকর্ষজ ত্বরণ যথাক্রমে $g_A$ ও $g_B$

আমরা জানি,

$v_A=\sqrt{2g_A{R}_A}$................................(i)
এবং $v_B=\sqrt{2g_B{R}_B}$ ........................(ii)

(i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

বাবাবা$\begin{array}{cc}& \frac{v_A}{v_B}=\frac{\sqrt{2g_A{R}_A}}{\sqrt{2g_B{R}_B}}\\ & \text{ বা, }\frac{11200}{5200}=\sqrt{\frac{g_A}{g_B}}\times \sqrt{\frac{R_A}{R_B}}\\ & \text{ বা, }\sqrt{\frac{g_A}{g_B}}=\frac{2.154}{\sqrt{1.721}}=1.6419\\ & \text{ বা, }\frac{g_A}{g_B}=2.6958\end{array}$

ভূপৃষ্ঠ থেকে বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুর জন্য সর্বোচ্চ উচ্চতা,

$h=\frac{v^2}{2g}[\because v<<$ মুক্তিবেগ $]$

$\therefore$ ১ম গ্রহের ক্ষেত্রে, $h_A=\frac{v^2}{2g_A}$. $$............... (iii)

এবং ২য় গ্রহহের ক্ষেত্রে, $h_B=\frac{v^2}{2g_B}$$$................... (iv)

(iii) নং কে (iv) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{h_A}{h_B}=\frac{\frac{v^2}{2g_A}}{\frac{v^2}{2g_B}}=\frac{g_B}{g_A}=\frac{1}{2.6958}=0.3709$
$\therefore h_A=0.3709\times h_B$

অর্থাৎ, h_A ≠ h_B সুতরাং, উভয় বস্তু নিজ গ্রহপৃষ্ঠ হতে সমান উচ্চতায় উঠতে পারবে না।