সৃজনশীলঃ ‘দুটি নিরেট গোলাকের…’ ২০২৫ – কাজ শক্তি ক্ষমতা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, স্প্রিং বল সর্বদা এর সংকোচন বা প্রসারণের সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী। অর্থাৎ $F=-kx$ 

সুতরাং স্প্রিং বল বনাম দূরত্বের গ্রাফ হবে- 

অতএব, স্প্রিং এর বল বনাম সরণ লেখচিত্র হলো মূলবিন্দুগামী নিম্নমুখী সরলরেখা।

এখানে,

গোলকের ভর, $m=1.8\mathrm{kg}$

গোলকের ব্যাসার্ধ, $R=10\mathrm{cm}=0.1m$ 

$\begin{array}{cc}& \theta ={30}^{\circ }\\ & \mathrm{BD}=10m\end{array}$ 

উদ্দীপক হতে,

শর্তমতে, $\Sigma F=ma$ 

বা. $mg\sin {30}^{\circ }-f=ma........\left(i\right)$

আবার, $\Sigma \tau =1\alpha$ [গোলকের কেন্দ্রের সাপেক্ষে]
বা, $fR=l\alpha$
বা, $fR=\frac{2}{5}{\mathrm{mR}}^2\times \alpha$
বা, $f=\frac{2}{5}\mathrm{mR}\alpha$

বা, $f=\frac{2}{5}\mathrm{ma}.......\left(ii\right)$

এখানে, $a=R\alpha$

$f$ এর মান $\left(i\right)$ এ বসাই; 
$\mathrm{mg}\sin {30}^{\circ }-\frac{2}{5}\mathrm{ma}=\mathrm{ma}$
বা, $\mathrm{mg}\sin {30}^{\circ }=\frac{7}{5}\mathrm{ma}$
বা, $a=\frac{5}{7}g\sin {30}^{\circ }=3.5m{s}^{-2}$

a-এর মান $\left(ii\right)$ এ বসাই, $f=\frac{2}{5}\times 1.8\times 3.5=2.52N$

গড়িয়ে পড়ার ক্ষেত্রে ঘর্ষণ দুটি গুরুত্বপূর্ণ কাজ করে। প্রথমত, এটি গোলকটিকে পিছলে যাওয়া থেকে বাধা প্রদান করে। ফলে, ঘর্ষণ দ্বারা যে রৈখিক কাজ হয় তা ঋণাত্মক হয়। একই সঙ্গে ঘর্ষণ গোলকটিকে ঘোরানোর জন্য প্রয়োজনীয় টর্ক সরবরাহ করে। ফলে ঘর্ষণ দ্বারা একটি ধনাত্মক কৌণিক কাজও হয়।

এখানে,

$\begin{array}{cc}\mathrm{AB}=d& =\frac{10}{\cos {30}^{\circ }}\\ & =11.547m\end{array}$ 

$\therefore$ ঘর্ষণ বল দ্বারা রৈখিক কাজ,

$\begin{array}{cc}{W}_T& =-fd\\ & =-2.52\times 11.547\\ & =-29.098J\end{array}$ 

এবং ঘর্ষণ বল দ্বারা কৌণিক কাজ, 

$\begin{array}{cc}{W}_r& =\tau \theta =I\alpha \frac{d}{R}[\because s=R\theta ]\\ & =\frac{2}{5}{m}^2\times \frac{a}{R}\times \frac{d}{R}[a=\alpha R]\\ & =\frac{2}{5}\mathrm{mas}=\frac{2}{5}\times 1.8\times 3.5\times 11.547=29.098J\end{array}$

$\therefore$ ঘর্ষণ বল দ্বারা মোট কাজ, 

$W_{\text{net}}=W_r+W_r=-29,098J+29.098J=0J$ 

অতএব, ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ শূন্য । 

'গ' হতে পাই,

প্রথম গোলকের উপর ক্রিয়াশীল ঘর্ষণ বল, $f=2.52N$

সুতরাং কেন্দ্রের সাপেক্ষের টর্ক ,${\tau }_1=fR=2.52\times 0.1=0.252\mathrm{Nm}$ 

'গ' হতে পাই, $d=11.547m;a=3.5m{s}^{-2}$ 

$\therefore$ B বিন্দুতে বেগ, 

$v_B^2=u^2+2as$ 

বা, $v_B=\sqrt{0^2+2\times 3.5\times 11.547}=8.99\approx 9m{s}^{-1}$ 

এখানে, আদি বেগ, u=9 $m{s}^{-1}$

শেষ বেগ, $v=0$

সরণ, $s=20m$

ত্বরণ, $a=$ ? 

যেহেতু $B$ বিন্দুতে সমান ভরের দুটি গোলকের স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ হয় তাই তারা বেগ বিনিময় করবে। অর্থাৎ প্রথম গোলক থেমে যাবে, ২য় গোলক $9m{s}^{-1}$ বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করবে এবং $20m$ যাওয়ার পর থেমে যাবে। 

$\therefore v^2=u^2-2$ as 

বा, $a=\frac{u^2}{2s}=\frac{9^2}{2\times 20}$ 

$=2.025m{s}^{-2}$ 

এখানে, 

গোলকের ভর, $m=1.8mg$

গোলকের ব্যাসার্ধ, $R=10cm$

                               $=0.1m$

আমরা জানি, $a=R\alpha$

বা, $\alpha =\frac{a}{R}=\frac{2.025}{0.1}=20.25\mathrm{rad}{s}^{-1}$

$\therefore$ কেন্দ্রের সাপেক্ষে টর্ক, 

$\begin{array}{cc}{\tau }_2& =I\alpha =\frac{2}{5}{\mathrm{mR}}^2\alpha \\ & =\frac{2}{5}\times 1.8\times {0.1}^2\times 20.25\\ & =0.1458\mathrm{Nm}\end{array}$ 

যেহেতু, ${\tau }_1>{\tau }_2$  তাই বলা যায় প্রথম গোলকের উপর ক্রিয়াশীল টর্কের মান বেশি হবে।