সৃজনশীলঃ ‘দুটি সুর শলাকা…’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – তরঙ্গ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোনো স্বরে বিভিন্ন কম্পাঙ্কের সুর থাকে। এদের মধ্যে যে সুরের কম্পাঙ্ক সবচেয়ে কম তাকে মূল সুর বলে। অন্যান্য সুর যাদের কম্পাঙ্ক মূল সুরের চেয়ে বেশি তাদেরকে উপসুর বলে। অন্যদিকে, যদি কোনো উপসুর মূল সুরের কম্পাঙ্কের সরল গুণিতক (1, 2, 3...) হয়, তবে তাকে হারমোনিক বলে।
হারমোনিক হতে হলে তাকে অবশ্যই উপসুর হতে হয়, তাই সব হারমোনিকই উপসুর। কিন্তু অনেক উপসুর আছে যা মূল সুরের পূর্ণসংখ্যার গুণিতক নয় (যেমন: মূল সুর 100 Hz হলে, 125 Hz একটি উপসুর কিন্তু হারমোনিক নয়), তাই সকল উপসুর হারমোনিক নয়।

প্রদত্ত সমীকরণকে Y = A sin2πft এর সাথে তুলনা করে পাই,

এখানে,
মিলিত শব্দ তরঙ্গের সমীকরণ, y

$=[2\cos 6\pi t\sin 506\pi t]\mathrm{cm}$

সময়, t = 0.4 s
বিস্তার, $A=$ ?

মিলিত শব্দ তরঙ্গের বিস্তার,

$A=2\cos 6\pi t$

$t=0.4s$ বসিয়ে পাই,

$A=2\cos (6\pi \times 0.4)$

$=2\cos \left(2.4\pi \right)$

বা, $A=2\times 0.3090$

$\therefore A=0.618\mathrm{cm}$ (Ans.)

ধরি, সুর শলাকা দুটির কম্পাঙ্ক যথাক্রমে $f_A$ এবং $f_B$ ।

এখানে,
মিলিত শব্দ তরঙ্গের সমীকরণ, $y=[2\cos 6\pi t\sin 506\pi t]\mathrm{cm}$

বীট তরঙ্গের আদর্শ সমীকরণ হলো,

$y=[2A\cos \left(\pi f_{b}t\right)\sin \left(2\pi f_{\text{avg }}t\right)$

প্রদত্ত সমীকরণকে আদর্শ
সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
১. বীট কম্পাঙ্ক ( $f_b$ ) এর জন্য:

$\pi f_{b}t=6\pi t$

বা, $f_b=6\mathrm{Hz}$
২. গড় কম্পাঙ্ক ( $f_{\text{avg }}$ ) এর জন্য:

2 $\pi f_{\text{avg }}t=506\pi t$

বা, $f_{\text{avg }}=\frac{506}{2}\mathrm{Hz}=253\mathrm{Hz}$

আমরা জানি, $f_A+f_B=2f_{Avg}$ वा, $f_A+f_B=2\times 253$

$\therefore f_A+f_B=506\mathrm{Hz}$

এবং $|f_A-f_B|=f_b$

$\therefore |f_A-f_B|=6\mathrm{Hz}$

সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে দুটি সম্ভাবনা পাওয়া যায়:
সম্ভাবনা ১: $f_A>f_B$ হলে, $f_A-f_B=6$ .......(iii)
(i) + (iii) করে পাই, $2f_A$=506+6=512

বা, $f_A=256\mathrm{Hz}$
(i) - (iii) করে পাই,

$2f_{\beta }=506-6=500$

বা, $f_B=250\mathrm{Hz}$
সুতরাং, $f_A=256\mathrm{Hz}$ এবং $f_B=250\mathrm{Hz}$
সম্ভাবনা ২: $f_B>f_A$ হলে, $f_B-f_A=6$ ......... (iv)
(i) + (iv) করে পাই, $2f_B=506+6=512$

বা, $f_B=256\mathrm{Hz}$
(i) - (iv) করে পাই, $2f_A=506-6=500$

বা, $f_A=250\mathrm{Hz}$
সুতরাং, $f_A=250\mathrm{Hz}$ এবং $f_B=256\mathrm{Hz}$

মোম লাগানোর শর্ত বিশ্নেষণ: সুর শলাকা A-এর গায়ে মোম লাগালে এর কম্পাঙ্ক $f_A$ হাস পায়। নতুন কম্পাঙ্ক $f_A^{\prime }$ । শতানুসারে, মোম লাগানোর পরেও বীট একই থাকে, অর্থাৎ $N=6\mathrm{Hz}$ ।
সম্ভাবনা ১ যাচাই: $f_A=256\mathrm{Hz}$ এঁবং $f_B=250\mathrm{Hz}(f_A>f_B)$ মোম লাগানোর ফলে $f_A$ হ্রাস পেয়ে $f_A^{\prime }$ হয়। যদি $f_A$ হ্রাস পায়, তবে $f_A-f_B$ এর মান হ্রস পাবে। ফলে বীট কম্পাঙ্কও হ্রস পাবে। কিন্তু শর্তানুসারে, বীট একই $\left(6\mathrm{Hz}\right)$ থাকতে হবে। এটি তখনই সম্ভব যখন $f_A$ এত বেশি হ্রাস পায় যে $f_A^{\prime }<f_B$ হয় এবং নতুন পার্থক্য $f_B-f_A^{\prime }$ এর মান 6 Hz হয়।
$\therefore f_B-f_A^{\prime }=6$ বা, $250-f_A^{\prime }=6$
বা, $f_A^{\prime }=250-6=244\mathrm{Hz}$
সন্তাবনা ২ যাচাই: $f_A=250\mathrm{Hz}$ এবং $f_B=256\mathrm{Hz}\mid (f_A<f_B)$ মোম লাগানোর ফলে $f_A$ হাস পেয়ে $f_A^{\prime }$ হয়। যেহেতু $f_A$ হাস পাচ্ছে, $f_B-f_A^{\prime }$ এর মান বৃদ্ধি পাবে। ফলে বীট 6 Hz থেকে বেড়ে যাবে। সুতরাং, এই সম্ভাবনাটি শর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
সুতরাথ, সুর শলাকা দুটির কম্পাঙ্গক নির্ণয় করা সম্ভব এবং এদের মান $f_A=256\mathrm{Hz}$ এবং $f_B=250\mathrm{Hz}$ (Ans.)