সৃজনশীলঃ ‘দুটি তেজস্ক্রিয় মৌল…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র (এইচএসসি)

নিউক্লিয়াসের ভরত্রুটির কারণ হলো নিউক্লিয়াস গঠনের সময় কিছু ভর শক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে বন্ধন শক্তি হিসেবে মুক্তি পায়। প্রতিটি প্রোটন ও নিউট্রনের পৃথক ভরের যোগফলের চেয়ে নিউক্লিয়াসের ভর সবসময় কম হয়। এই ভরের ঘাটতিকেই ভরত্রুটি (mass defect) বলে। এটি আইনস্টাইনের বিখ্যাত সমীকরণ $E={\mathrm{mc}}^2$ অনুযায়ী শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।

এখানে, A এর প্রারম্ভিক পরমাণু সংখ্যা = $N_0$
$N_0$ এর $15\%$ ক্ষয় হতে সময়, $t=5y$
অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা, $N=N_0$ এর $(100-15)\%=0.85N_0$

মোলটির ক্ষয় ধ্রুবক $\lambda$ হলে,

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

বা, $-\lambda t=\ln \left(\frac{N}{N_0}\right)$

বা, $\lambda =\frac{\ln \left(\frac{0.85\times N_0}{N_0}\right)}{-5}=0.0325y^{-1}$

∴ মৌলটির গড় আয়ু, $\tau =\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{0.0325}=30.77y$

অতএব, A মৌলটির গড় আয়ু 30.77 বছর।

এখানে, A মৌলটির ক্ষয় ধ্রুবক, ${\lambda }_{\Lambda }=0.0325y^{-1}$ ['গ' হতে]

A ও B মৌলের প্রারম্ভিক পরমাণু সংখ্যা $=N_0$

B এর $N_0$ এর 15% ক্ষয় হতে সময়, t = 15y

অক্ষত পরমাণু সংখ্যা, $N=N_0$ এর $(100-15)\%=0.85N_0$

B মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক ${\lambda }_B$ হলে,

$\begin{array}{cc}{\lambda }_B& =\frac{\ln \left(\frac{N}{N_0}\right)}{-t}\\ & =\frac{\ln \left(\frac{0.85N_0}{N_0}\right)}{-15}=0.010835y^{-1}\end{array}$

এখন, A এর তুলনায় B এর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা 3 গুণ হতে সময় $t_1$ হলে,

$N_B=3N_A$

বা, $N_0{e}^{-{\lambda }_B{t}_1}=3N_0{e}^{-{\lambda }_A{t}_1}$

বা, $\frac{e^{-{\lambda }_B{t}_1}}{e^{-{\lambda }_A{t}_1}}=3$

বা, $e^{-{\lambda }_A{t}_1-{\lambda }_B{t}_l}=3$

বা, $t_1({\lambda }_A-{\lambda }_B)=\ln \left(3\right)$

বা, $t_1=\frac{\ln \left(3\right)}{{\lambda }_A-{\lambda }_B}$

$=\frac{\ln \left(3\right)}{0.0325-0.010835}=50.71y$

আবার, A এর তুলনায় B এর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা 6 গুণ হতে সময় $t_2$ হলে,

$t_2=\frac{\ln \left(6\right)}{{\lambda }_A-{\lambda }_B}=\frac{\ln \left(6\right)}{0.0325-0.010835}=82.7y$

এখন, $\frac{t_2}{t_1}=\frac{82.7}{50.71}=1.63$

সুতরাং, $t_2=1.63\times t_1$

A এর তুলনায় B এর অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা 3 গুণ হতে যত সময় লাগবে 6 গুণ হতে তার দ্বিগুণ সময় লাগবে না।