সৃজনশীলঃ ‘দুটি তেজস্ক্রিয় পদার্থ…’ বীরশ্রেষ্ঠ মুন্সী আব্দুর রউফ পাবলিক কলেজ ২০২৫ – পরমাণুর মডেল ও নিউক্লিয়ার পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র (এইচএসসি)

অর্ধায়ু ও তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ধুবক এর মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ-

তেজস্ক্রিয় রূপান্তর বা সূচকীয় সূত্র হতে, আমরা জানি,

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$ . . . . . . . . . . . . . . . . (১)

যখন $t=T_{\frac{1}{2}}$ তখন $N=\frac{N_0}{2}$

$\therefore \frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}^2}$  [(১) নং সমীকরণ হতে]

বা, $\frac{1}{2}=e^{-\lambda T_{\frac{1}{2}}}$

বা, $-\lambda T_{\frac{1}{2}}=\ln \frac{1}{2}$

বা, $-\lambda T_{\frac{1}{2}}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2[\because \ln 1=0]$

বা, $T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{0.693}{\lambda }$

অর্থাৎ, তেজস্ক্রিয় পদার্থের অর্ধায়ু এর ক্ষয় ধ্রুবকের ব্যস্তানুপাতিক। এটিই নির্ণেয় সম্পর্ক।

এখানে, অবক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda =6.93\times {10}^{-3}{y}^{-1}$

অর্ধায়ু, $T_{\frac{1}{2}}=?$

আমরা জানি,

অর্ধায়ু, $T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{\ln 2}{6.93\times {10}^{-3}}=100.0212y$

অতএব, $X$ মৌলটির অর্ধায়ু  $100.0212y$।

Y মৌলের ক্ষেত্রে:

উদ্দীপক হতে পাই, 100 বছরে $\frac{1}{3}$ অংশে পরিণত হয়।

অবক্ষয় ধ্রুবক, ${\lambda }^{\prime }$ হলে,

$N=N_0{e}^{-{\lambda }^{\prime }t}$

বা, $-{\lambda }^{\prime }t=\ln \left(\frac{N}{N_0}\right)$

বা, $-{\lambda }^{\prime }\times 100=\ln \left(\frac{1}{3}\right)$

$\therefore {\lambda }^{\prime }=0.010986y^{-1}$

$\therefore Y$-এর অর্ধায়ু,  $T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{{\lambda }^{\prime }}=\frac{\ln 2}{0.010986}=63.09y$

$X$ মৌলের ক্ষেত্রে :

অবক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda =6.93\times {10}^{-3}{y}^{-1}$

∴ $X$-এর গড় আয়ু, $\tau =\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{6.93\times {10}^{-3}}=144.3y$

এখানে, $\tau \ne T_{\frac{1}{2}}$; তাই বলা যায়, উদ্দীপক অনুসারে $X$ মৌলটির গড় আয়ু ও $Y$ মৌলটির অর্ধায়ু একই হবে না।