সৃজনশীলঃ ‘দুটি ভেক্টর v→=2i^+3j^−xk^…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

তিনটি ভেক্টরের মধ্যে যেকোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধি তৃতীয় ভেক্টরটির সমান ও বিপরীতমুখী হলে ভেক্টর তিনটির লব্ধি শূন্য হয়।  মনে করি, $\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}$ এবং $\overrightarrow{C}$ তিনটি ভেক্টরের আদিবিন্দু  $O$ । $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরের লব্ধি যদি $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের সমান ও বিপরীতমুখী হয় তবে,

$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=-\overrightarrow{C}$ বা, $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}=0$

এখানে, $\overrightarrow{v}=2\hat{i}+3\hat{j}-x\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{u}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{v}$ ও $\overrightarrow{u}$ পরস্পর লম্ব হওয়ায়,

$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}=0$

বা, $(2\hat{i}+3\hat{j}-x\hat{k})\cdot (3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=0$
বা, $6+6-2x=0$
বা, $2x=12$
$\therefore x=6$

অতএব, উদ্দীপকের x এর মান 6.

এখানে, $\overrightarrow{v}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}[$ গ হতে x এর মান পাই]

এবং $\overrightarrow{u}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$
$\therefore$ নৌকার বেগ, $v=\sqrt{2^2+3^2+(-6{)}^2}=7m{s}^{-1}$
$\therefore$ স্রোতের বেগ, $u=\sqrt{3^2+2^2+2^2}=\sqrt{17}m{s}^{-1}$

সর্বনিম্ন পথে নদী পার হলে, ${\theta }_1={90}^{\circ }$
সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে সময়, $t_1=4\min =(4\times 60s)=240s$

এখন, সোতের বেগ ও নৌকার বেগের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে,

$\tan {\theta }_1=\frac{v\sin {\alpha }_1}{u+v\cos {\alpha }_1}$

বা, $\tan {90}^{\circ }=\frac{v\sin {\alpha }_1}{u+v\cos {\alpha }_1}$

বা, $\frac{1}{0}=\frac{7\sin {\alpha }_1}{\sqrt{17}+7\cos {\alpha }_1}$

বা, $\sqrt{17}+7\cos {\alpha }_1=0$

বা, $\cos {\alpha }_1=-\frac{\sqrt{17}}{7}$ 

বা, ${\alpha }_1={\cos }^{-1}(-\frac{\sqrt{17}}{7})={126.1}^{\circ }$

আবার, নদীর প্রস্থ d হলে,

$d=v\sin {\alpha }_1\times t_1=7\times \sin {126.1}^{\circ }\times 240=1357.42m$

অন্যদিকে, ন্যৃনতম সময়ে নদী পার হলে, ${\alpha }_2={90}^{\circ }$

এক্ষেত্রে, নদীর লব্ধি  বেগের সাথে স্রোতের  বেগের মধ্যবর্তী কোণ ${\theta }_2$ হলে,

বা$\begin{array}{cc}& \tan {\theta }_2=\frac{v\sin {\alpha }_2}{u+v\cos {\alpha }_2}=\frac{7\sin {90}^{\circ }}{\sqrt{17}+7\cos {90}^{\circ }}\\ & \text{ বা, }{\theta }_2={\tan }^{-1}\left(\frac{7}{\sqrt{17}}\right)={59.5}^{\circ }\end{array}$

চিত্রের সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রে,

$\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

বা, $\cos ({90}^{\circ }-{\theta }_2)=\frac{AB}{AC}$

বা, $\mathrm{AC}=\frac{d}{\cos ({90}^{\circ }-{59.5}^{\circ })}$

$=\frac{1357.42m}{\cos {30.5}^{\circ }}=1575.41m$

এখানে, AC > d

সুতরাং ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।