সৃজনশীলঃ ‘এবং ω এককের…’ ২০২৬ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-x+c$
এখানে, $f\left(x\right)=x^2-x+c$ বক্ররেখাটি $(0,1)$ দিয়ে অতিক্রম করে। অর্থাৎ, $1=0^2-0+c$
বা, $c=1$

$\therefore f\left(x\right)=x^2-x+1=1x+x^2$

বামপক্ষ $=f\left(\omega \right).f\left({\omega }^2\right).f\left({\omega }^4\right)$ ............. $2n$ সংখ্যক পদ

$=(1-\omega +{\omega }^2)\{(1-{\omega }^2+{\left({\omega }^2\right)}^2\}\{1-{\omega }^4+{\left({\omega }^4\right)}^2\}$ ................ 2n সংখ্যক পদ
$=(1-\omega +{\omega }^2)(1-{\omega }^2+{\omega }^4)(1-{\omega }^4+{\omega }^8)..........2n$ সংখ্যক পদ

$=(1-\omega +{\omega }^2)(1-{\omega }^2+\omega )(1-\omega +{\omega }^2)$............... $2n$ সংখ্যক পদ $[\because {\omega }^3=1]$

$=\{(1-\omega +{\omega }^2)(1-\omega +{\omega }^2)$.................. n সংখ্যক পদ}

$\{(1-{\omega }^2+\omega )(1-{\omega }^2+\omega )$ ................... n সংখ্যক পদ}

$={(1-\omega +{\omega }^2)}^n{(1-{\omega }^2+\omega )}^n$
$={(1+{\omega }^2-\omega )}^n{(1+\omega -{\omega }^2)}^n$
$=(-\omega -\omega {)}^n{(-{\omega }^2-{\omega }^2)}^n[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
$=(-2\omega {)}^n{(-2{\omega }^2)}^n$
$={\left[\right(-2\omega \left)(-2{\omega }^2)\right]}^n={\left[4{\omega }^3\right]}^n=4^n\cdot {\left({\omega }^3\right)}^n$

$={\left(2^2\right)}^n\cdot 1^n[\because {\omega }^3=1]$
$=2^{2n}$
ডানপক্ষ $=2^{2n}(1+{\omega }^8)(1+{\omega }^{10})$
$=2^{2n}\{1+{\left({\omega }^3\right)}^2\cdot {\omega }^2\}\{1+{\left({\omega }^3\right)}^3\cdot \omega \}$
$=2^{2n}(1+{\omega }^2)(1+\omega )[\because {\omega }^3=1]$$=2^{2n}\cdot (-\omega )(-{\omega }^2)[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
$=2^{2n}\cdot {\omega }^3=2^{2n}\cdot 1[\because {\omega }^3=1]$
$=2^{2n}$
$\therefore f\left(\omega \right).f\left({\omega }^2\right).f\left({\omega }^4\right)\dots \dots .2n$ সংখ্যক পদ $=2^{2n}(1+{\omega }^8)(1+{\omega }^{10}).$

(দেখানো হলো)

'খ' হতে প্রাপ্ত, $f\left(x\right)=1-x+x^2$
$\therefore f(-x)=1-(-x)+(-x{)}^2=1+x+x^2$
এখন, $\left\{f\right(-x){\}}^n=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+$ ............... $+b_{2n}{x}^{2n}$
অর্থাৎ,

${(1+x+x^2)}^n=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+b_4{x}^4+b_5{x}^5+b_6{x}^6+\dots \dots \dots +b_{2n}{x}^{2n}$...................(1)

এখন, (1)নং এ $x=1$ বসিয়ে পাই,

${(1+1+1^2)}^n=b_0+b_1+b_2+b_3+b_4+b_6+$ ............... $+b_{2n}$

বা, $3^n=b_0+b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+$ ...................(2)

(1) নং এ x = ω বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}{(1+\omega +{\omega }^2)}^n=b_0+b_1\omega +b_2{\omega }^2+& b_3{\omega }^3+b_4{\omega }^4+b_5{\omega }^5\\ & +b_5{\omega }^6+\dots \dots +b_{2n}{\omega }^{2n}\end{array}$

বা, $0=b_0+b_1\omega +b_2{\omega }^2+b_3+b_4\omega +b_5{\omega }^2+b_6+$ ...................(3)

$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

আবার, (1)নং এ, $x={\omega }^2$ বসিয়ে পাই, $\begin{array}{cc}{(1+{\omega }^2+{\omega }^4)}^n=b_0+b_1{\omega }^2+b_2{\omega }^4& +b_3{\omega }^6+b_4{\omega }^8+b_5{\omega }^{10}\\ & +b_6{\omega }^{12}+\dots \dots \dots +b_{2n}{\omega }^{4n}\end{array}$

বা, ${(1+{\omega }^2+\omega )}^2=b_0+b_1{\omega }^2+b_2\omega +b_3+b_4{\omega }^2+b_5\omega +b_6+$$\_\_\_\_$$[\because {\omega }^3=1]$

বা, $0=b_0+b_1{\omega }^2+b_2\omega +b_3+b_4{\omega }^2+b_5\omega +b_6+\dots \dots \dots \left(4\right)$
$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 

$\begin{array}{cc}{3}^n=3b_0+& b_1(1+\omega +{\omega }^2)+b_2(1+{\omega }^2+\omega )+3b_3\\ & +b_4(1+\omega +{\omega }^2)+b_5(1+{\omega }^2+\omega )+3b_6+\end{array}$

বা, $3^n=3b_0+b_1\cdot 0+b_2\cdot 0+3b_3+b_4\cdot 0+b_5\cdot 0+3b_6+\dots .$.

$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

বা, $3^n=3(b_0+b_3+b_6+\dots \dots )$
বা, $\frac{3^n}{3}=b_0+b_3+b_6+\dots \dots .$.
বা, $3^{n-1}=b_0+b_3+b_6+\dots \dots .$.
$\therefore b_0+b_3+b_6+\dots \dots ..=3^{n-1}$. (দেখানো হলো)