সৃজনশীলঃ ‘এবংA→=2i^+3j^+k^,B→=3i^−j^+4k^ এবং C→=i^−3j^+5k^…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না। কারণ এক্ষেত্রে গুণফলের মান সমান হলেও দিক বিপরীতমুখী হয়ে থাকে।

ব্যাখ্যা : মনে করি, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ দুটি ভেক্টর রাশি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ ।
এখন, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ ভেক্টর দুটির ক্রস গুণন,

$\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}=\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$..............(1)[এখানে, $\hat{n}$ একটি একক ডেষ্টর]

এবং $\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}=\hat{n}\mathrm{PQ}\sin (-\theta )=-\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$

$\therefore \overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}=-\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$  .............(2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}=-\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}$
$\therefore \overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}\ne \overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}$

অর্থাৎ, ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

এখানে, $\overrightarrow{B}=3\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k};\overrightarrow{C}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$
$\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$ সামান্তরিকের দুটি কর্ণ হলে এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C}|$

এখন,
$\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 3& -1& 4\\ 1& -3& 5\end{array}\right|$
$=\hat{i}(-5+12)-\hat{j}(15-4)+\hat{k}(-9+1)$
$=7\hat{i}-11\hat{j}-8\hat{k}$

$\therefore$ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times |\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C}|$

$=\frac{1}{2}\times \sqrt{7^2+(-11{)}^2+(-8{)}^2}$
$=\frac{1}{2}\times 15.297$ বর্গ একক  
$=7.6485$ বর্গ একক

অতএব, $\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$ ভেক্টর দ্বারা একটি সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ নির্দেশ করা হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 7.6485 বর্গ একক।

এখানে,

$\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k};\overrightarrow{B}=3\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$
$\overrightarrow{C}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}+3\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}=5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

এখন, X অক্ষ এবং $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ,

$\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{X}\cdot (\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})}{|\overrightarrow{X}||\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|}\right)$
$={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{1\times \sqrt{5^2+2^2+3^2}}\right)={35.8}^{\circ }$

আবার, Y অ়ক্ষ ও $\overrightarrow{C}$ এর মধ্যবর্তী কোণ,

$\beta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{Y}\cdot \overrightarrow{C}}{\left|\overrightarrow{Y}||\overrightarrow{C}\right|}\right)$
$={\cos }^{-1}\left(\frac{-3}{1\times \sqrt{1^2+(-3{)}^2+5^2}}\right)={120.47}^{\circ }$

এখানে, $\beta >\alpha$
সুতরাং X অক্ষ এবং $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ এর অন্তবর্তী কোণ অপেক্ষা Y অক্ষ এবং $\overrightarrow{C}$ এর অন্তবর্তী কোণ বৃহত্তর ।