সৃজনশীলঃ ‘এবংA=logp⁡qr−2,B=5+logq⁡rp.C=9+logr⁡pq,a6x=b6y=c6z এবং M=yy3.…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$\begin{aligned} A = \log_{p} q r - 2, B = 5 + \log_{q} r p . \\ C = 9 + \log_{r} p q, \sqrt[x]{a^{6}} = \sqrt[y]{b^{6}} = \sqrt[z]{c^{6}} এবং M = y \sqrt[3]{y} . \end{aligned}$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $M = y \sqrt[3]{y}$
$∴ M^{y} = y^{M}$
বা, $(y \sqrt[3]{y})^{y} = y^{y} \sqrt[3]{y}$
বা, ${(y \cdot y^{\frac{1}{3}})}^{y} = y^{y \cdot y^{\frac{1}{3}}}$
বা, ${(y^{1 + \frac{1}{3}})}^{y} = {(y^{y})}^{y^{\frac{1}{3}}}$
বা, ${(y^{\frac{4}{3}})}^{y} = {(y^{y})}^{y^{\frac{1}{3}}}$
বা, ${(y^{y})}^{\frac{4}{3}} = {(y^{y})}^{y^{\frac{1}{3}}}$
বা, $\frac{4}{3} = y^{\frac{1}{3}} [a^{m} = a^{n}$ হলে, $m = n]$
বা, ${(\frac{4}{3})}^{3} = {(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ [ঘন করে]
বা, $\frac{4^{3}}{3^{3}} = y^{\frac{1}{3}} \cdot 3$

$∴ y = \frac{64}{27}$

নির্ণেয় মান : $y = \frac{64}{27}$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে,

$\begin{matrix} A = \log_{p} q r - 2, B = 5 + \log_{q} r p \\ C = 9 + \log_{r} p q \end{matrix}$

এখন, $A = \log_{p} qr - 2$
বা, $A + 2 = \log_{p} qr$
বা, $A + 2 + 1 = \log_{p} q r + 1$

$∴ A + 3 = \log_{p} q r + 1$

আবার, B = $5 + \log_{q}$ rp
বা, $B - 4 = 1 + \log_{q} r p$
আবার, $C = 9 + \log_{r} pq$
বা, $C - 8 = 1 + \log_{r} p q$

বামপক্ষ $\begin{matrix} = (A + 3)^{- 1} + (B - 4)^{- 1} + (C - 8)^{- 1} \\ = \frac{1}{A + 3} + \frac{1}{B - 4} + \frac{1}{C - 8} \\ = \frac{1}{1 + \log_{p} q r} + \frac{1}{1 + \log_{q} r p} + \frac{1}{1 + \log_{r} p q} \\ = \frac{1}{\log_{p} p + \log_{p} q r} + \frac{1}{\log_{q} q + \log_{q} r p} + \frac{1}{\log_{r} r + \log_{r} p q} \\ = \frac{1}{\log_{p} p q r} + \frac{1}{\log_{q} p q r} + \frac{1}{\log_{r} p q r} [∵ (\log_{c} a b = \log_{c} a + \log_{c} b) \\ = \log_{p q r} p + \log_{p q r} q + \log_{p q r} r [\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}] \\ = \log_{p q r} p q r \\ = 1 [\log_{a} a = 1] \end{matrix}$ = ডানপক্ষ

$∴ (A + 3)^{- 1} + (B - 4)^{- 1} + (C - 8)^{- 1} = 1$ . (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $\sqrt[x]{a^{6}} = \sqrt[y]{b^{6}} = \sqrt[z]{c^{6}}$ এবং $a b c = 1$

ধরি, $\sqrt[x]{a^{6}} = \sqrt[y]{b^{6}} = \sqrt[2]{c^{6}} = k$

এখন,

$\sqrt[x]{a^{6}} = k$

বা, $a^{\underset{―}{b}} = k$
বা, $a = k^{\frac{x}{6}}$ ,

$\sqrt[y]{b^{6}} = k$

বা, $b^{y} = k$
বা, $b = k^{\frac{y}{6}}$

$\sqrt[z]{c^{6}} = k$

বা, $c^{z} = k$
বা, $c = k^{\frac{z}{6}}$

শর্তমতে, abc = 1
বা, $k^{\frac{x}{6}} \cdot k^{\frac{y}{6}} \cdot k^{\frac{z}{6}} = 1$
বা, $k^{\frac{x}{6}} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = k^{0}$
বা, $\frac{x}{6} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 0$
বা, $\frac{x + y + z}{6} = 0$

$∴ x + y + z = 0$

তাহলে, $x + y = - z y + z = - x z + x = - y$

বামপক্ষ $\begin{matrix} = {(m^{- x} + m^{y} + 1)}^{- 1} + {(m^{- y} + m^{z} + 1)}^{- 1} + {(m^{- z} + m^{x} + 1)}^{- 1} \\ = \frac{1}{m^{- x} + m^{y} + 1} + \frac{1}{m^{- y} + m^{z} + 1} + \frac{1}{m^{- z} + m^{x} + 1} \\ = \frac{1}{m^{- x} + m^{y} + 1} + \frac{1}{m^{y} (m^{- y} + m^{z} + 1)} + \frac{m^{y}}{m^{- x} (m^{- z} + m^{x} + 1)} \\ = \frac{1}{m^{- x} + m^{y} + 1} + \frac{m^{- x}}{m^{y} \cdot m^{- y} + m^{2} \cdot m^{y} + m^{y}} + \frac{m^{y}}{m^{- x} \cdot m^{- 2} + m^{x} \cdot m^{- x} + m^{- x}} \\ = \frac{1}{m^{- x} + m^{y} + 1} + \frac{m^{y}}{1 + m^{2 + y} + m^{y}} + \frac{1}{m^{- (x + z)} + 1 + m^{- x}} \\ = \frac{1}{m^{- x} + m^{y} + 1} + \frac{m^{y}}{1 + m^{- x} + m^{y}} + \frac{m^{- x}}{1 + m^{y} + m^{- x}} \end{matrix}$ = ডানপক্ষ

$∴ {(m^{- x} + m^{y} + 1)}^{- 1} + {(m^{- y} + m^{z} + 1)}^{- 1} + {(m^{- z} + m^{x} + 1)}^{- 1} = 1 .$ (প্রমাণিত)

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর