সৃজনশীলঃ ‘এবংf(x)=3×3−6×2−5x+2 এবং y=18×2…’ ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=3x^3-6x^2-5x+2$ 

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $f^{\prime }\left(x\right)=9x^2-12x-5$

আবার $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=18x-12$

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য,

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $9x^2-12x-5=0$

বা, $9x^2-15x+3x-5=0$

বা, $9x^2-15x+3x-5=0$

বা, $3x(3x-5)+1(3x-5)=0$

বা, $(3x-5)(3x+1)=0$

বা, $x=\frac{5}{3},\frac{-1}{3}$

$x=\frac{5}{3}$ হলে, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=18\cdot \frac{5}{3}-12=30-12=18>0$

$\therefore x=\frac{5}{3}$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর মান সর্বনিম্ন

$x=\frac{-1}{3}$ হলে, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=18.\left(\frac{-1}{3}\right)-12=-6-12=-18<0$

$\therefore x=\frac{-1}{3}$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর মান সর্বোচ্চ।

নির্ণেয় মান : $\frac{-1}{3}$

প্রদত্ত পরাবৃত্ত, $y=\frac{1}{8}{x}^2$

বা, $x^2=8y\dots \dots \dots \left(1\right)$

বা, $x^2=4.2.y$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $y=2$ .......... (2)

(1) নং এ$এy=2$ বসিয়ে পাই,

$x^2=16$

বা, $x^2=(\pm 4{)}^2$

$\therefore x=\pm 4$

(1) নং পরাবৃত্ত এবং (2) নং রেখা পরস্পর $A(4,2)$ ও $B(-4,2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = AOB অংশের ক্ষেত্রফল

(1) নং হতে, $y=\frac{x^2}{8}=y_1$ (ধরি)

(2) নং হতে $y=2=y_2$ (ধরি)

$\therefore$ AOB অংশের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-4}^4(y_2-y_1)dx$

$={\int }_{-4}^4(2-\frac{x^2}{8})dx$

$=2{\int }_{-4}^{4}dx-\frac{1}{8}{\int }_{-4}^4{x}^{2}dx$

$=2[x{]}_{-4}^4-\frac{1}{8}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-4}^4$

$=2(4+4)-\frac{1}{24}(64+64)$

$=16-\frac{128}{24}$

$=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ বর্গ একক।

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{32}{3}$ বর্গ একক।