সৃজনশীলঃ ‘এবংf(x)=sin⁡x এবং g(x)=cos⁡x…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)+f\left(y\right)=p$

$\therefore \sin x+\sin y=p\dots \dots \dots \left(i\right)$

এবং $g\left(x\right)+g\left(y\right)=q$

$\therefore \cos x+\cos y=q\dots \dots \dots \left(ii\right)$

এখানে, $\sin x+\sin y=p$

$\therefore 2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=p.$

$\therefore \cos x+\cos y=q\dots \dots \dots \left(iii\right)$

এবং $\cos x+\cos y=q$

$\therefore 2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}=q......\left(iv\right)$

এখন, (iii) নং ও (iv) নং কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

$4{\cos }^2\left(\frac{x-y}{2}\right){\sin }^2\left(\frac{x+y}{2}\right)$

$+4{\cos }^2\left(\frac{x-y}{2}\right){\cos }^2\left(\frac{x+y}{2}\right)=p^2+q^2$

বা, $4{\cos }^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\{{\sin }^2\left(\frac{x+y}{2}\right)+{\cos }^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\}=p^2+q^2$

বা, $4{\cos }^2\left(\frac{x-y}{2}\right)=p^2+q^2$

বা, $4\{1-{\sin }^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\}=p^2+q^2$

বা, $4{\sin }^2\left(\frac{x-y}{2}\right)=4-p^2-q^2$

বা, ${\sin }^2\left(\frac{x-y}{2}\right)=\frac{1}{4}(4-p^2-q^2)$

বা, $\sin \frac{1}{2}(x-y)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{4-p^2-q^2}$

$\therefore f\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{4-p^2-q^2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f\left(2x\right)=\sin 2x;-\frac{\pi }{2}\le x\le \pi$

প্রদত্ত ফাংশনটি সাইন ফাংশন। প্রদত্ত রেডিয়ান মানকে ডিগ্রীতে রুপান্তর করে সাইন সারণি হতে $x=-\frac{\pi }{2}$ বা $-{90}^{\circ }$ হতে $x=\pi$ বা ${180}^{\circ }$ পর্যন্ত ${15}^{\circ }$ ব্যবধানে $\sin 2x$ এর মান নেওয়া হয়েছে। $x$ এর মানের প্রতিসঙ্গী y এর মানগুলি ছকে স্থাপন করা হয়েছে।

স্কেল নির্ধারণ : $x$ অক্ষ বরাবর ছোট বর্গের এক বাহু $=5^{\circ }$ এবং y-অক্ষ বরাবর ছোট বর্গের 1 বাহু = 0.1 একক। এখন নির্ধারিত স্কেলে বিন্দুগুলি (ছক হতে প্রাপ্ত) গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুযমভাবে যোগ করে $\sin 2x$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।

বৈশিষ্ট্য: লেখচিত্রটি অবিচ্ছিন্ন, ঢেউয়ের মত এবং মূলবিন্দুগামী, $y=\sin 2x$ একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন যার পর্যায়কাল $\pi$.