সৃজনশীলঃ ‘এবংu=ex এবং 4×2+9y2=36…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $z=1+e^x$

$\therefore \mathrm{dz}=e^x\mathrm{dx}$

দেওয়া আছে, u = ex

$\therefore {\int }_0^{\ln 2}\frac{u}{1+u}\mathrm{dx}$

$={\int }_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^x}\mathrm{dx}$

$={\int }_2^3\frac{1}{z}\mathrm{dz}=[\ln z{]}_2^3$

$=\ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}$ (Ans)

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ,

$4x^2+9y^2=36$ বা, $9y^2=36-4x^2$

বা, $y^2=\frac{4}{9}(9-x^2)\therefore y=\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}$

উপবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রেল

$=4{\int }_0^3\mathrm{ydx}=4{\int }_0^3\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}\mathrm{dx}$

$=\frac{8}{3}{\int }_0^3\sqrt{9-x^2}\mathrm{dx}$

$x=3\sin \theta$ হলে, $\mathrm{dx}=3\cos \theta d\theta$

সীমা: $x=0$ হলে, $\theta =0$

এবং $x=3$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{2}$

$\therefore$ উপবৃত্তটির ক্ষের্রফল $=\frac{8}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9-9{\sin }^2\theta }\cdot 3\cos \theta d\theta$

$=\frac{8}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9(1-{\sin }^2\theta )}\cdot 3\cos \theta d\theta$

$=8{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9{\cos }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta$

$=8{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3\cos \theta \times \cos \theta d\theta$

$=12{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\cos }^2\theta d\theta$

$=12{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta$

$=12{[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=12(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\sin \pi )$

$=6\pi$ বর্গ একক। (Ans.)