সৃজনশীলঃ ‘একদিন একটি অঞ্চলের…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

পর্যায়কাল T এবং কক্ষপথের ব্যাসার্ধ r হলে, কেপলারের তৃতীয় সূত্রানুসারে, 

$T^2\propto r^3$
বা,${\left(\frac{2\pi }{\omega }\right)}^2\propto r^3[\because \omega =\frac{2\pi }{T}]$
বা,বा${\left(\frac{2\pi r}{v}\right)}^2\propto r^3[\because v=r\omega \text{ বा, }\omega =\frac{v}{r}]$
বা,$\frac{4{\pi }^2{r}^2}{v^2}\propto r^3$

বা, $v^2\propto \frac{1}{r}$
$\therefore v\propto \frac{1}{\sqrt{r}}$

অর্থাৎ, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ বাড়লে বেগ কমে যায়। তাই পৃথিবী সূর্যের থেকে দূরে সরে গেলে তার বেগ কমে যায়।

এখানে,

তাপমাত্রা, Q = 2xy²z³ - 4xy

তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট,

$\begin{array}{cc}& \mathrm{gradQ}=\overrightarrow{\nabla }Q\\ & =(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})Q\\ & =(\frac{\partial Q}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial Q}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial Q}{\partial z}\hat{k})\end{array}$

বাতাসের বেগ $\overrightarrow{v}$ এর কার্ল নির্ণয়ের মাধ্যমে এর ঘূর্ণন সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যায়।

এখানে,

$\overrightarrow{v}$ = (y²cosx + z³) $\hat{i}$ + (2ysinx - 4) $\hat{j}$ + (3xz² + 2) $\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{v}$ এর কার্ল

Curl $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{V}=$

$\begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y^2\cos x+z^3& 2y\sin x-4& 3x{z}^2+2\end{array}\right|\\ & =\hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}(3x{z}^2+2)-\frac{\partial }{\partial z}(2y\sin x-4\left)\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}-\hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}(3x{z}^2+2)-\frac{\partial }{\partial z}(y^2\cos x+z^3)\}\\ +\hat{k}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\right(2y\sin x-4)-\frac{\partial }{\partial y}(y^2\cos x+z^3)\}\end{array}$

$=\hat{i}(0-0)-\hat{j}\{3z^2-3z^2\}$ + $\hat{k}$ {2ycosx - 2ycosx}

$=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}=0$

যেহেতু $\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{V}=0$, এজন্য $\overrightarrow{v}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল। সুতরাং বলা যায়, ঐ দিন ঐ অঞ্চলের বাতাসে কোনো ঘূর্ণন ছিলো না।