সৃজনশীলঃ ‘একদল বিজ্ঞানী 100…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

বৃত্তপথে ঘূর্ণনরত বস্তুর ওপর কেন্দ্রমুখী বল ক্রিয়া করে। এক্ষেত্রে যে কোনো মুহুর্তে কেন্দ্রমুখী বলের $\left(\overrightarrow{F_c}\right)$ দিক বৃত্তের কেন্দ্র বরাবর, কিন্তু প্রতিটি ক্ষুদ্র সময়ে বস্তুর ক্ষুদ্র সরণ ( $\overrightarrow{ds}$ ) হয় বৃত্তের স্পশক বরাবর। ফলে ${\overrightarrow{F}}_c$ ও $\overrightarrow{d}s$ এর মধ্যকার কোণ $\theta ={90}^{\circ }$ । সুতরাং কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা কৃতকাজ, $W={\overrightarrow{F}}_c.\overrightarrow{ds}=F_c\times ds\cos {90}^{\circ }=0$ । অ ৎ কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা কোনো কাজ সম্পাদিত হয় না।

দেওয়া আছে, পৃথিবী থেকে চাঁদের দূরত্ব, $r=3\times {10}^5\mathrm{km}=3\times {10}^{8}m$

ধরি, চাঁদের ভর, $M_m=M$
চাঁদের ব্যাসার্ধ, $R_m=R$
$\therefore$ পৃথিবীর ভর, $M_e=81M$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R_e=16R$

ধরি, পৃথিবী হতে $x$ দূরত্বে মহাকর্য প্রাবল্য সমান হবে।
$\therefore$ চাঁদ হতে উক্ত দূরত্ব, $(3\times {10}^8-x)$
$\therefore$ পৃথিবী হতে $x$ দূরত্বে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য,
$E_1=\frac{G{M}_e}{x^2}$

এবং চাঁদ হতে $(3\times {10}^8-x)$ দূরত্বে মহাক প্রাবল্য,
$E_2=\frac{G{M}_m}{{(3\times {10}^8-x)}^2}$

প্রশ্রমতে,
$E_1=E_2$

বা, $\frac{G{M}_e}{x^2}=\frac{G{M}_m}{{(3\times {10}^8-x)}^2}$
বা, $\frac{81M}{x^2}=\frac{M}{{(3\times {10}^8-x)}^2}$
বা, ${\left(\frac{x}{3\times {10}^8-x}\right)}^2=81$
বা, $\frac{x}{3\times {10}^8-x}=9$
বা, $x=2.7\times {10}^9-9x$
বা, $10x=2.7\times {10}^9$
$\therefore x=2.7\times {10}^{8}m$
$\therefore$ পৃথিবীর কেন্দ্র হতে $2.7\times {10}^{8}m$ দূরে মহাকর্ষ প্রাবল্য সমান হবে।

দেওয়া আছে,

কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা, $h=3.6\times {10}^4\mathrm{km}=36\times {10}^{6}m$

কৃত্রিম উপগ্রহের প্রদত্ত বেগ, $v=3.1\mathrm{km}/s=3.1\times {10}^{3}m\cdot s^{-1}$ 

পৃথিবী হতে চাঁদের দূরত্ব, $h^{\prime }=3\times {10}^5\mathrm{km}=3\times {10}^{8}m$ আমরা পাই, $h$ উচ্চতায় কৃত্রিম উপগ্রহের প্রয়োজনীয় বেগ,
$\begin{array}{cc}{v}^{\prime }& =\sqrt{\frac{GM}{R+h}}\\ & =\sqrt{\frac{(6.673\times {10}^{-11}N\cdot m^2\cdot {\mathrm{kg}}^{-2})(6\times {10}^{24}\mathrm{kg})}{(6.4+36)\times {10}^{6}m}}\\ & =3.08\times {10}^{3}m\cdot s^{-1}\approx v\end{array}$

সুতরাং কৃত্রিম উপগ্রহটি পৃথিবীকে চাঁদের ন্যায় একটি বৃত্তাকার পথে প্রদক্ষিণ করবে। কৃত্রিম উপগ্রহের,
$\begin{array}{cc}T& =\frac{2\pi (R+h)}{v}\\ & =\frac{2\times 3.1416\times (6.4+36)\times {10}^6}{3100}s\\ & =23.87\mathrm{Hr}\approx 24\mathrm{Hr}.\end{array}$

সুতরাং কৃত্রিম উপগ্রহটি ভু-স্থির কিন্তু চাঁদ ভূ-স্থির উপগ্রহ নয়।