সৃজনশীলঃ ‘একই উপাদানে তৈরি…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

মূল সুরের চেয়ে উচ্চ কম্পাঙ্কবিশিষ্ট সকল সুরকেই উপসুর $\left(\mathrm{Overtone}\right)$ বলে। অন্যদিকে, মূল সুরের কম্পাঙ্কের সরল গুণিতক কম্পাঙ্কবিশিষ্ট সুরগুলোকে হারমোনিক $\left(\mathrm{Harmonic}\right)$ বা সমমেল বলে।

যেহেতু যেকোনো হারমোনিকের কম্পাঙ্ক মূল সুরের চেয়ে বেশি, তাই এটি অবশ্যই একটি উপসুর। কিন্তু সব উপসুরের কম্পাঙ্ক মূল সুরের সরল গুণিতক নাও হতে পারে। এ কারণে সব হারমোনিকই উপসুর হলেও সব উপসুর হারমোনিক বা সমমেল নয়।

দেওয়া আছে,

প্রথম তারটির দৈর্ঘ্য, $L=1m$

ঝোলানো ভর, $m=0.5\mathrm{kg}$

তারের ব্যাস, $d_1=0.2\mathrm{cm}=2\times {10}^{-3}m$

তারের ব্যাসার্ধ, $r_1=\frac{d_1}{2}=1\times {10}^{-3}m$

তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, $A_1=\pi r_1^2=\pi \times (1\times {10}^{-3}{)}^2=\pi \times {10}^{-6}{m}^2$

ইয়াং-এর গুণাঙ্ক, $Y=2\times {10}^{11}{\mathrm{Nm}}^{-2}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8{\mathrm{ms}}^{-2}$

তারের উপর প্রযুক্ত বল, $F=\mathrm{mg}=0.5\times 9.8=4.9N$

প্রথম তারটিতে সৃষ্ট পীড়ন, $S_1=\frac{F}{A_1}=\frac{4.9}{\pi \times {10}^{-6}}\approx 1.5597\times {10}^6{\mathrm{Nm}}^{-2}$

আমরা জানি, একক আয়তনে সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি বা শক্তি ঘনত্ব,

$u_1=\frac{1}{2}\times \frac{(S_1{)}^2}{Y}$

$u_1=\frac{1}{2}\times \frac{(1.5597\times {10}^6{)}^2}{2\times {10}^{11}}$

$u_1=\frac{2.4327\times {10}^{12}}{4\times {10}^{11}}$

$u_1\approx 6.08{\mathrm{Jm}}^{-3}$

অতএব, প্রথম তারটির প্রতি একক আয়তনে সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি প্রায় $6.08{\mathrm{Jm}}^{-3}$।

দেওয়া আছে,

দ্বিতীয় তারের ব্যাস, $d_2=0.4\mathrm{cm}$

যেহেতু দুটি তার একই উপাদানের তৈরি এবং এদের দৈর্ঘ্য ও ঝোলানো ভর সমান, তাই উভয় ক্ষেত্রে ইয়াং-এর গুণাঙ্ক $\left(Y\right)$, দৈর্ঘ্য $\left(L\right)$ এবং ভর $\left(m\right)$-এর মান স্থির বা ধ্রুবক।

আমরা জানি, কোনো তারের স্প্রিং ধ্রুবক, $k=\frac{\mathrm{YA}}{L}$

আবার, সরল ছন্দিত স্পন্দকের দোলনকালের সূত্রানুযায়ী,

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{\mathrm{mL}}{\mathrm{YA}}}$

যেহেতু বৃত্তাকার তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $A=\frac{\pi d^2}{4}$, তাই সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$T=2\pi \sqrt{\frac{4\mathrm{mL}}{Y\pi d^2}}$

$T=\frac{2\pi }{d}\sqrt{\frac{4\mathrm{mL}}{Y\pi }}$

যেহেতু $m,L,Y$ এবং $\pi$ ধ্রুবক, তাই দোলনকাল $\left(T\right)$ তারের ব্যাসের $\left(d\right)$ ব্যস্তানুপাতিক:

$T\propto \frac{1}{d}$

সুতরাং, প্রথম ও দ্বিতীয় তারের দোলনকালের অনুপাত হবে:

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{d_2}{d_1}$

বা, $\frac{T_1}{T_2}=\frac{0.4}{0.2}$

বা, $\frac{T_1}{T_2}=2$

বা, $T_1=2T_2$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, প্রথম তারটির দোলনকাল দ্বিতীয় তারটির দোলনকালের দ্বিগুণ। অর্থাৎ, প্রথম তারটির দোলনকাল দীর্ঘতর হবে।