সৃজনশীলঃ ‘একটি আয়তাকার কাঠের…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – পরিমিতি, গণিত (এসএসসি)

মনে করি, আয়তাকার বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব x. সে.মি. বাক্রের বাইরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 9 সে.মি., 7 সে.মি. ও 5 সে.মি.
$\therefore$ বাক্সটির ভিতরের দৈর্ঘ্য, $a_1=(9-2x)$ সে.মি.
বাক্সটির ভিতরের প্রস্থ, $b_1=(7-2x)$ সে, মি.
বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা, $c_1=(5-2x)$ সে.মি.
$\therefore$ বাক্সটির ভিতরের সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $=2(a_1{b}_1+b_1{c}_1+c_1{a}_1)$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে, $2(a_1{b}_1+b_1{c}_1+c_1{a}_1)=142$
বা, $a_1{b}_1+b_1{c}_1+c_1{a}_1=71$
বা, $(9-2x)(7-2x)+(7-2x)(5-2x)+(5-2x)(9-2x)=71$
বা, $63-32x+4x^2+35-24x+4x^2+45-28x+4x^2-71=0$
বা, $12x^2-84x+72=0$
বা, $12(x^2-7x+6)=0$
বা, $x^2-7x+6=0$
বা, $x^2-6x-x+6=0$
বা, $x(x-6)-1(x-6)=0$
বা, $(x-6)(x-1)=0$
হয়, $x-6=0$
বা, $x=6$

অথবা, $x-1=0$
বা, $x=1$

কিন্তু বাক্সটির পুরুত্ব তার বাইরের তিনটি পরিমাপের কোনোটির চেয়েই বেশি হতে পারে না। অর্থাৎ, $x\ne 6$.

$\therefore x=1$

অতএব, বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব 1 সে.মি.।

এখানে, বাজের বাইরের দৈর্ঘ্য $a=9$ সে.মি., প্রস্থ $b=7$ সে.মি. এবং উচ্চতা $c=5$ সে.মি.।
$\therefore$ বাজারের বাইরের আয়তন $=abc=9\times 7\times 5$ ঘন সে.মি.

$\text{ = }315$ ঘন সে.মি. 

$\therefore$ বেলনের আয়তন = বাক্সের বাইরের আয়তন = 315 ঘন সে.মি. মনে করি, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ = r সে.মি,
$\therefore$ বেলনের উচ্চতা, $h=2r$ সে.মি.
$\therefore$ বেলনের আয়তন $=\pi r^{2}h$ ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে, $\pi r^{2}h=315$
বা, $\pi r^2\times 2r=315$
বা, $2\pi r^3=315$
বা, $r^3=\frac{315}{2\pi }=\frac{315}{2\times 3.1416}=50.1337$
বা, $r=\sqrt[3]{50.1337}$

$\therefore r=3.6873$ (প্রায়)

$\therefore$ বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\pi r(r+h)$

$=2\pi r(r+2r)[\because h=2r]$
$=2\pi r\times 3r=6\pi r^2=6\times 3.1416\times (3.6873{)}^2$ বর্গ সে.মি.
$=256.28$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

অতএব, বেলনটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 256.28 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।