সৃজনশীলঃ ‘একটি বিমান ধনাত্মক…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, বিপরীত ভেক্টরের মান সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী। অপরদিকে বিপ্রতীপ ভেক্টরের মান বিপরীত কিন্তু দিক মূল ভেক্টরের দিকেই। তাই কোনো ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টর ও বিপ্রতীপ ভেক্টর পরস্পর বিপরীতমুখী হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা 180°। উদাহরণস্বরূপ ধরি কোনো ভেক্টর $\overrightarrow{A}=5\hat{i}$ এর বিপরীত ভেক্টর, $\overrightarrow{B}=-5\hat{i}$ এবং বিপ্রতীপ ভেক্টর, = $\overrightarrow{C}=\frac{1}{5}\hat{i}$

এখানে স্পষ্টত প্রতীয়মান $\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$ এর দিক পরস্পর বিপরীত দিকে অর্থাৎ এদের মধ্যবর্তী কোণ 180°। তাই বলা যায় কোনো বিপরীত ভেক্টর ও বিপ্রতীপ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ একই। 

এখানে, ২য় বিমানের বেগ, $\overrightarrow{v_2}=500\hat{j}{\mathrm{kmh}}^{-1}$

বায়ুর বেগ, $\overrightarrow{v_a}=(150\sqrt{3}\hat{i}+150\hat{j}){\mathrm{kmh}}^{-1}$

বায়ুর সাপেক্ষে ২য় বিমানটির গতিবেগ বা লব্ধিবেগ $\overrightarrow{v_{2a}}$ হলে,
$\overrightarrow{v_{2a}}=\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_a}$
$=\{500\hat{j}+(150\sqrt{3}\hat{i}+150\hat{j}\left)\right\}{\mathrm{kmh}}^{-1}$
$=(150\sqrt{3}\hat{i}+650\hat{j}){\mathrm{kmh}}^{-1}$
বায়ুর সাপেক্ষে দ্বিতীয় বিমানটির গতিবেগের ভেক্টর রূপটি হলো $(150\sqrt{3}\hat{i}+650\hat{j}){\mathrm{kmh}}^{-1}$

বায়ুর সাপেক্ষে ১ম বিমানের গতিবেগ 400 kmh^-1 এবং বিমানটি বায়ুর উপস্থিতিতে ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর গতিশীল হতে হলে বায়ুর সাপেক্ষে বিমানের লব্ধি বেগ $\overrightarrow{v_{1a}}=400\hat{i}{\mathrm{kmh}}^{-1}$

এখানে,
বাতাসের বেগ,
$\overrightarrow{v_a}=(150\sqrt{3}\hat{i}+150\hat{j}){\mathrm{kmh}}^{-1}$

ধরি, ১ম বিমানের বেগ, $\overrightarrow{v_1}$
$\therefore \overrightarrow{v_{1a}}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_a}$

বা, $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_{1a}}+\overrightarrow{v_a}$

বা, $\overrightarrow{v_1}=400\hat{i}-(150\sqrt{3}\hat{i}+150\hat{j})$
বা, $\overrightarrow{v_1}=(400-150\sqrt{3})\hat{i}+150\hat{j}$
$\therefore \overrightarrow{v_1}=(140.19\hat{i}-150\hat{j}){\mathrm{kmh}}^{-1}$

এখন, বাতাসের বেগ $\overrightarrow{v_a}$ ও বিমানের বেগ $\overrightarrow{v_1}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_s}}{\left|\overrightarrow{v_1}\right|\left|\overrightarrow{v_a}\right|}$
এখানে, $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_a}=(140.19\hat{i}-150\hat{j})\cdot (150\sqrt{3}\hat{i}+150\hat{j})$
$=36422.43-22500=13922.43$
$\left|\overrightarrow{v_1}\right|=\sqrt{(140.19{)}^2+(-150{)}^2}=205.31$
$\left|\overrightarrow{v_a}\right|=\sqrt{(150\sqrt{3}{)}^2+(150{)}^2}=300$
এখন, $\cos \theta =\frac{13922.43}{\left(205.31\right)\times \left(300\right)}=0.226$
$\therefore \theta ={\cos }^{-1}\left(0.226\right)={76.938}^{\circ }$