সৃজনশীলঃ ‘একটি বিন্দুতে α…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২১ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি,

$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$

$\angle \mathrm{AOC}=\theta$

লব্ধি $R$, যা $\mathrm{OC}$ বরাবর ক্রিয়াশীল।

$P$ এর দিক বরাবর লব্ধির লম্বাংশ $=R\cos \theta =Q$

এখন, $\mathrm{OA}$ বরাবর বলগুলোর লম্বাংশ নির্ণয় করে পাই,

$P\cos 0^{\circ }+Q\cos \alpha =R\cos \theta$

$\Rightarrow P+Q\cos \alpha =Q$

$\Rightarrow Q\cos \alpha =Q-P$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{Q-P}{Q}$

$\therefore \alpha ={\cos }^{-1}\frac{Q-P}{Q}$ (প্রমানিত)

দেওয়া আছে,

দুটি বল $P$ ও $Q$ এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি $L$ ও $M$

$\therefore L=P+Q..........\left(i\right)$

$M=P-Q(P>Q)........\left(ii\right)$

(i)+(ii)

$2P=L+M$

$\Rightarrow P=\frac{L+M}{2}$

(i) - (ii)

$2Q=L-M$

$\Rightarrow Q=\frac{L-M}{2}$

বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে,

লব্ধি,

$R=\sqrt{P^2+Q^2+2P\cdot Q\cdot \cos \alpha }$

$=\sqrt{{\left(\frac{L+M}{2}\right)}^2+{\left(\frac{L-M}{2}\right)}^2+2\cdot \frac{L+M}{2}\cdot \frac{L-M}{2}\cdot \cos \alpha }$

$=\sqrt{\frac{1}{4}\left\{\right(L+M{)}^2+(L-M{)}^2\}+\frac{1}{2}(L^2-M^2)\cdot \cos \alpha }$

$=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot 2(L^2+M^2)+\frac{1}{2}(L^2-M^2)\cdot \cos \alpha }$

$=\sqrt{\frac{1}{2}{L}^2+\frac{1}{2}{M}^2+\frac{1}{2}{L}^2\cdot \cos \alpha \frac{1}{2}{M}^2\cdot \cos \alpha }$

$=\sqrt{\frac{1}{2}{L}^2(1+\cos \alpha )+\frac{1}{2}{M}^2(1-\cos \alpha )}$

$=\sqrt{\frac{1}{2}{L}^{2}2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{2}{M}^{2}2\cdot {\sin }^2\frac{\alpha }{2}}$

$=\sqrt{L^2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+M^2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}$ (দেখানো হলো)