সৃজনশীলঃ ‘একটি বৃত্তের কেন্দ্র…’ ঢাকা কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, (h, k) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং a ব্যাসার্ধের কোনো বৃত্তের সমীকরণ, $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=a^2$

এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ$\frac{1}{2}\sqrt{10}$; সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}^2$ .... (i)

এখন, বৃত্তটি C(1,1) বিন্দুগামী বলে (i) নং সমীকণের বৃত্ত ঐ বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হবে অর্থাৎ, $(1-h{)}^2+(1-k{)}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}^2$

বা,$1-2h+h^2+1-2k+k^2=\frac{10}{4}$

বা,$h^2+k^2-2h-2k+2-\frac{10}{4}=0$

$\therefore h^2+k^2-2h-2k-\frac{1}{2}=0$...... (ii)

আবার, বৃত্তটির কেন্দ্র $y=3x-7$রেখার ওপর অবস্থিত হওয়ায়,

$k=3h-7......\left(iii\right)$

এখন $k$এর মান (ii) নং এ বসালে পাই,

$h^2+(3h-7{)}^2-2h-2(3h-7)-\frac{1}{2}=0$

বা, $h^2+9h^2-42h+49-2h-6h+14-\frac{1}{2}=0$

বা, $10h^2-42h+49-8h+13\frac{1}{2}=0$

বা, $10h^2-50h+\frac{125}{2}=0$বা, $20h^2-100h+125=0$

বা,$4h^2-20h+25=0$বা, $(2h-5{)}^2=0\therefore h=\frac{5}{2}$

এখন, (iii) নং সমীকরণ হতে পাই, $k=3\left(\frac{5}{2}\right)-7=\frac{1}{2}$

অতএব, (i) এ h এবং $k$এর মান বসিয়ে,

${(x-\frac{5}{2})}^2+{(y-\frac{1}{2})}^2=\frac{5}{2}$

বা, $x^2-5x+\frac{25}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$

$\therefore x^2+y^2-5x-y+4=0$

$\therefore$নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-5x-y+4=0$ (Ans.)

$P(1,1)$ও $Q(-1,0)$বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করা সম্ভব হবে, কেবল যদি বিন্দুদ্বয় বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হয়।

$P$ B Q বিন্দুদ্বয়কে ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরলে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ, $(x-1)(x+1)+(y-1)(y-0)=0$

বা,$x^2-1+y^2-y=0$ বা,$x^2+y^2-y-1=0$ (Ans.)