সৃজনশীলঃ ‘একটি বৃত্তের সমীকরণ…’ সিলেট সরকারি কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ

$x^2+y^2-4x+8y-16=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+2(-2)x+2.4y-16=0$

এখানে, $g=-2,f=4,c=-16$

বৃত্তটির কেন্দ্র $(2,-4)$

ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{(-2{)}^2+4^2(-16)}$

$=\sqrt{4+16+16}$

$=\sqrt{36}$

$=6$

প্রদত্ত জ্যা এর সমীকরণ,

$4x+3y+26=0-\left(i\right)$

নির্ণেয় স্পশ্রক (i) নং জ্যা এর উপর লম্ব,

স্পর্শকের সমীকরণ,

$3x-4y+K=0-($ ii $)$

কেন্দ্র $(2,-4)$ হরেত (ii) নং স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

$\Rightarrow \left|\frac{3.2-4(-4)+K}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\right|=6$

$\Rightarrow \left|\frac{6+16+K}{\sqrt{25}}\right|=6$

$\Rightarrow \left|\frac{22+K}{5}\right|=6$

$\Rightarrow 22+K=\pm 30$

$\Rightarrow K=\pm 30-22$

(+) নিয়ে, (–) নিয়ে,

$\therefore K=8K=-52$

(ii) নং সমীকরনে $k=8$ বमिয়ে, $3x-4y+8=0$

আবার, K = - 52 বসিয়ে,

$3x-4y-52=0$

$\therefore$ निর্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $3x-4y+8=0$

$3x-4y-52=0$

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+4x+6y-12=0$ ...... (i)

এবং A বিন্দুর স্পানাঙ্ক $(1,1)$

আমরা জানি, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ বৃত্তের $(x_1,y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

${\mathrm{xx}}_1+{\mathrm{yy}}_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$

$\therefore x^2+y^2+4x+6y-12=0$ বৃত্তের $(1,1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$x.1+y.1+2(x+1)+3(y+1)-12=0$

বা, $x+y+2x+2+3y+3-12=0$

বা, $3x+4y-7=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $3x+4y-7=0$

আবার, আমরা জানি, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ বৃত্তের $(x_1,y_k)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,

$(x_1+g)y-(y_1+f)x+f{x}_1-g{y}_1=0$

$\therefore$ (i)নং বৃত্তের (1, 1) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,

$(1+2)y-(1+3)x+3.1-2.1=0$

বা, $3y-4x+3-2=0$

বা, $-4x+3y+1=0$

$\therefore 4x-3y-1=0$

নির্ণেয় অভিলের সমীকরণ, $4x-3y-1=0$.