সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ যথাক্রমে $A(2,–3),B(3,0),C(0,1)$ এবং $D(-1,-2)$

বিন্দুগুলো $xy$ সমতলে স্থাপন করে দেখানো হলো।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(3-2{)}^2+(0+3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1^2+3^2}$ একক

$=\sqrt{1+9}$ একক $=\sqrt{10}$ একক

$\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0-3{)}^2+(1-0{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-3{)}^2+1^2}$ একক

$=\sqrt{9+1}$ একক $=\sqrt{10}$ একক

$\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-1-0{)}^2+(-2-1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-1{)}^2+(-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1+9}$ একক $=\sqrt{10}$ একক

$\mathrm{DA}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(2+1{)}^2+(-3+2{)}^2}$ একক

$=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{9+1}$ একক $=\sqrt{10}$ একক

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0-2{)}^2+(1+3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-2{)}^2+(4{)}^2}$ একক

$=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ একক

$\therefore {\mathrm{AC}}^2=\sqrt{{20}^2}=20$

${\mathrm{AB}}^2={\sqrt{10}}^2=10$

${\mathrm{BC}}^2={\sqrt{10}}^2=10$

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2=10+10=20={\mathrm{AC}}^2$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে $△\mathrm{ABC}$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle \mathrm{ABC}=$ এক সমকোণ

যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং একটি কোণ সমকোণ, সেহেতু ABCD একটি বর্গ।

‘খ’ এর চিত্রে হতে,

AD রেখার সমীকরণ, $\frac{y-(-3)}{x-2}=\frac{-3-(-2)}{2-(-1)}$

বা, $\frac{y+3}{x-2}=\frac{-1}{3}$

বা, $-x+2=3y+9$

AD রেখা $y$ অক্ষকে ছেদ করে বলে $x=0$

$\therefore 0+2=3y+9$

বা, $3y=2-9$

$\therefore y=-\frac{7}{3}$,

$\therefore \mathrm{AD}$ রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{-7}{3})$

এখন, চতুর্থ চতুর্থাগে $(3,0),(0,0),(0,\frac{-7}{3})$ এবং $(2,-3)$

বিন্দুগুলোর দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}3& 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& \frac{-7}{3}& -3& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{\right(0+0+0+0)-(0+0-\frac{14}{3}-9)\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{14}{3}+9)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times \frac{14+27}{3}$ বর্গ একক $=\frac{41}{3}$ বর্গ একক

$\therefore \mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজের যে অংশ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল $\frac{41}{3}$ বর্গ একক।