সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(-5,5)$, $Q(-10,-5)$, $R(5,-5)$ এবং $S(10,5)$ বিন্দু চারটি PQRS চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ বিন্দু।

PQ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-10+5{)}^2+(-5-5{)}^2}$ একক
$=\sqrt{(-5{)}^2+(-10{)}^2}$ একক
$=\sqrt{25+100}$ একক
$=\sqrt{125}$ একক $=5\sqrt{5}$ একক

QR বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(5+10{)}^2+(-5+5{)}^2}$ একক
$=\sqrt{(15{)}^2+0^2}$ একক
$=\sqrt{225}$ একক $=15$ একক

RS বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(10-5{)}^2+(5+5{)}^2}$ একক
$=\sqrt{5^2+{10}^2}$ একক
$=\sqrt{25+100}$ একক
$=\sqrt{125}$ একক $=5\sqrt{5}$ একক

PS বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(10+5{)}^2+(5-5{)}^2}$ একক
$=\sqrt{(15{)}^2+0^2}$ একক
$=\sqrt{225}$ একক $=15$ একক

$\therefore$ PQ বাহুর দৈর্ঘ্য = RS এর বাহুর দৈর্ঘ্য এবং QR বাহুর দৈর্ঘ্য = PS বাহুর দৈর্ঘ্য
$\therefore$ PQRS চতুর্ভুজটি একটি আয়ত বা সামান্তরিক।

এখন, PR কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(5+5{)}^2+(-5-5{)}^2}$ একক
$=\sqrt{{10}^2+(-10{)}^2}$ একক
$=\sqrt{100+100}$ একক
$=\sqrt{200}$ একক $=10\sqrt{2}$ একক

এবং QS কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(10+10{)}^2+(5+5{)}^2}$ একক
$=\sqrt{{20}^2+{10}^2}$ একক
$=\sqrt{400+100}$ একক
$=\sqrt{500}$ একক $=10\sqrt{5}$ একক

যেহেতু কর্ণ PR $\ne$ কর্ণ QS
$\therefore$ PQRS চতুর্ভুজটি সামান্তরিক।

‘খ’ নং চিত্র হতে,
ধরি, QR রেখা y-অক্ষকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
$\therefore QR$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-(-5)}{x-(-10)}=\frac{-5-(-5)}{-10-5}$
বা, $\frac{y+5}{x+10}=\frac{-5+5}{-15}$
বা, $\frac{y+5}{x+10}=\frac{0}{-15}=0$
বা, $y+5=0$
$\therefore y=-5$

আবার, $y$-অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দুর ভুজ শূন্য। অর্থাৎ $x=0$
$\therefore M$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-5)$
এবং RS রেখা x-অক্ষকে N বিন্দুতে ছেদ করে।
$\therefore \mathrm{RS}$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-(-5)}{x-5}=\frac{-5-5}{5-10}$
বা, $\frac{y+5}{x-5}=\frac{-10}{-5}$
বা, $\frac{y+5}{x-5}=2$
বা, $2x-10=y+5$
বা, $2x-y-10-5=0$

$\therefore 2x-y-15=0$

x-অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দুর কোটি শূন্য।
অর্থাৎ, $y=0$
$\therefore 2x-0-15=0$
বা, $2x=15$
বা, $x=\frac{15}{2}$
$\therefore N$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{15}{2},0)$
এখন চতুর্থক চতুর্ভাগে $O(0,0),M(0,-5),R(5,-5)$ এবং N $(\frac{15}{2},0)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত OMRN চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল।

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& 5& \frac{15}{2}& 0\\ 0& -5& -5& 0& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(0+0+0+0-0+25+5\times \frac{15}{2}-0)$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(25+\frac{75}{2})$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}\left(\frac{50+75}{2}\right)$ বর্গ একক
$=\frac{125}{4}$ বর্গ একক বা, $31\frac{1}{4}$ বর্গ একক
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $31\frac{1}{4}$ বর্গ একক।