সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $P(2,-3),Q(3,0),R(0,1)$ এবং $S(-1,-2)$ বিন্দুগুলো $PQRS$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে, $PQRS$ চতুর্ভুজের

ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}2& 3& 0& -1& 2\\ -3& 0& 1& -2& -3\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(0+3+0+3+9+0+1+4)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 20$ বর্গ একক $=10$ বর্গ একক

মনে করি, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $=a^2$ বর্গ একক

প্রশ্নমতে, $a^2=10$

$\therefore a=\sqrt{10}$

$\therefore$ বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2}a$ একক $=\sqrt{2}\times \sqrt{10}$ একক

$=\sqrt{20}$ একক $=2\sqrt{5}$ একক

নির্ণেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{5}$ একক।

এখানে, চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $P(2,-3),Q(3,0),R(0,1)$ এবং $S(-1,-2)$

$\therefore$$PR$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y+3}{x-2}=\frac{-3-1}{2-0}$

বা, $\frac{y+3}{x-2}=\frac{-4}{2}=-2$

বা, $y+3=-2x+4$

বা, $2x+y=4-3$

$\therefore 2x+y=1....\left(i\right)$

আবার, $QS$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-0}{x-3}=\frac{0-(-2)}{3-(-1)}$

বা, $\frac{y}{x-3}=\frac{0+2}{3+1}$

বা, $\frac{y}{x-3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

বা, $x-3=2y$

$\therefore x=2y+3.......\left(ii\right)$

$x$ এর মান (i)নং এ বসিয়ে পাই, $2(2y+3)+y=1$

বা, $4y+6+y=1$

বা, $-5y=1-6$

বা, $5y=-5$

বা, $y=\frac{-5}{5}$

$\therefore y=-1$

$y$ এর মান (ii)নং এ বসিয়ে পাই, $x=2(-1)+3$

বা, $x=-2+3$

$\therefore x=1$

$\therefore (x,y)=(1,-1)$

$\therefore$$PR$ ও $QS$ রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1,-1)$.