সৃজনশীলঃ ‘একটি ধারার n…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, ধারাটির n তম পদ, $u_n=(2p+1{)}^{n-2}=(1+2p{)}^{n-2}$

$n=1$ হলে, ১ম পদ, $u_1=(1+2p{)}^{1-2}=(1+2p{)}^{-1}=\frac{1}{1+2p}$

$n=2$ হলে, ২য় পদ, $u_2=(1+2p{)}^{2-2}=(1+2p{)}^0=1$

$n=3$ হলে, ৩য় পদ, $u_3=(1+2p{)}^{3-2}=(1+2p{)}^1=1+2$

$pn=4$ হলে, 8র্থ পদ, $u_4=(1+2p{)}^{4-2}=(1+2p{)}^2$

$............................................$
$............................................$

অতএব, ধারাটি : $\frac{1}{1+2p}+1+(1+2p)+(1+2p{)}^2+$$..........$

এখানে, ১ম পদ, $a=\frac{1}{1+2p}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{\frac{1}{1+2p}}=1+2p$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি - $1<r<1$ হয়

অর্থাৎ, $-1<(1+2p)<1$

এখন, $-1<1+2p$

বা, $1+2p>-1$

বা, $1+2p-1>-1-1$

বা, $2p>-2$

$\therefore p>-1$

আবার, $1+2p<1$.

বা, $2p<1-1$

বা, $2p<0$

$\therefore p<0$

$\therefore p>-1$ অথবা $p<0$ এর জন্য ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{1+2p}}{1-(1+2p)}$

$=\frac{1}{1+2p}\times \frac{1}{-2p}=\frac{1}{-2p(1+2p)}$

নির্ণেয় শর্ত : $p>-1$ অথবা $x<0$ এবং সমষ্টি $=\frac{1}{-2p(1+2p)}$.

দেওয়া আছে, $A={(x^2+\frac{k}{x})}^8$

A এর বিস্তৃতি নিম্নরূপ :

${(x^2+\frac{k}{x})}^8={\left(x^2\right)}^8+(\frac{8}{1}){\left(x^2\right)}^7\left(\frac{k}{x}\right)+(\frac{8}{2})\cdot {\left(x^2\right)}^6\cdot {\left(\frac{k}{x}\right)}^2$

$+(\frac{8}{3}){\left(x^2\right)}^5{\left(\frac{k}{x}\right)}^3+(\frac{8}{4}){\left(x^2\right)}^4{\left(\frac{k}{x}\right)}^4+\dots \dots \dots$

$=x^{16}+8x^{14}\cdot \frac{k}{x}+28x^{12}\cdot \frac{k^2}{x^2}+56x^{10}\cdot \frac{k^3}{x^3}+70x^8\cdot \frac{k^4}{x^4}+\dots \dots$

$=x^{16}+8x^{13}k+28x^{10}{k}^2+56x^7{k}^3+70x^4{k}^4+\dots \dots$

$\therefore x^4$ এর সহগ $=70k^4$

শর্তমতে, $70k^4=43750$

বা, $k^4=\frac{43750}{70}$

বা, $k^4=625$

বা, $k^4=(5{)}^4$

$\therefore k=\pm 5$

নির্ণেয় মান : $k=\pm 5$.