সৃজনশীলঃ ‘একটি দোলকের সাম্যাবস্থা…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৬ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোনো স্প্রিংকে একক পরিমাণ সংকুচিত বা প্রসারিত করতে যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হয় তাকে স্প্রিং ধ্রুবক বলে। একটি স্প্রিংকে একক পরিমাণ সংকোচন বা প্রসারণ করতে যে পরিমাণ বলের প্রয়োজন হয়, স্প্রিংটিকে কেটে অর্ধেক করার পর এটির একক পরিমাণ সংকোচন বা প্রসারণ করতে দ্বিগুণ বল প্রয়োগ করার প্রয়োজন হবে। অর্থাৎ, স্প্রিং ধ্রুবক বৃদ্ধি পাবে

এখানে,

$x_1=3\mathrm{cm}=0.03m$
$x_2=5\mathrm{cm}=0.05m$
$v_1=6\mathrm{cm}{s}^{-1}=0.06m{s}^{-1}$
$v_2=4\mathrm{cm}{s}^{-1}=0.04m{s}^{-1}$

দোলকটির কৌণিক কম্পাংক $\omega$ এবং বিস্তার A হলে,

$v_1=\omega \sqrt{A^2-x_1{}^2}$

বা, $0.06=\omega \sqrt{A^2-(0.03{)}^2}$ ........................(i)

আবার, $v_2=\omega \sqrt{A^2-x_2{}^2}$

বা, $0.04=\omega \sqrt{A^2-(0.5{)}^2}$ ........................(ii)

(i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{0.06}{0.04}=\frac{\omega \sqrt{A^2-(0.03{)}^2}}{\omega \sqrt{A^2-(0.05{)}^2}}$

বা, $\frac{A^2-9\times {10}^{-4}}{A^2-2.5\times {10}^{-3}}={\left(\frac{0.06}{0.04}\right)}^2=2.25$
বা, $2.25A^2-5.625\times {10}^{-3}=A^2-9\times {10}^{-4}$
বা, $1.25A^2=4.725\times {10}^{-3}$
বা, $A^2=3.78\times {10}^{-3}$

$\therefore A=0.06m$

(i) নং সমীকরণে A এর মান বসিয়ে পাই,

$0.06=\omega \sqrt{(0.06{)}^2-(0.03{)}^2}$
$\therefore \omega =1.155\mathrm{rad}{s}^{-1}$

অতএব, দোলকটির কৌণিক কম্পাংক $1.155\mathrm{rad}{s}^{-1}$.

এখানে, পাহাড়ের পাদদেশে দোলকের দোলনকাল, $T=2s$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=\frac{1.28\times {10}^{7}m}{2}=6.4\times {10}^{6}m$
পাহাড়ের পাদদেশে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8{\mathrm{ms}}^{-2}$
দোলকটিকে পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে গেলে 10 ঘন্টায় বা 36000 সেকেন্ডে 30 sec সময় হারায়।
∴ পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল, $T^{\prime }=\frac{2\times 36000}{36000-30}=2.001668s$

এবং পাহাড়ের উচ্চতা, $h=(\frac{T^{\prime }}{T}-1)\times R$

$=(\frac{2.001668}{2}-1)\times 6.4\times {10}^6$
$=5337.6m$

মনে করি, পাহাড়ের পাদদেশে দোলকটির দৈর্ঘ্য L এবং পাহাড়ের চূড়ায় নিয়ে দোলকটির দৈর্ঘ্য $L^{\prime }$ করলে এটি সঠিক সময় দিবে। এখন, $\frac{L^{\prime }}{L}=\frac{g^{\prime }}{g}=\frac{g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2}{g}={\left(\frac{6.4\times {10}^6}{6.4\times {10}^6+5337.6}\right)}^2$
বা, $\frac{L^{\prime }}{L}=0.998$

$\therefore L^{\prime }=0.998\times L$

সুতরাং, উদ্দীপকের দোলকটির দৈর্ঘ্য পূর্বের 0.998 গুণ করলে পাহাড়ের চূড়ায় সঠিক সময় দিবে।